#HigherToposTheory: le livre de Jacob Lurie et son étude dans le cadre de l’Ouvert

Nous avons commencé l’étude du livre de Jacob Lurie “Higher topos theory”, le dernier article (comportant au début les références des précédents articles consacrés à ce livre ainsi que le lien vers le texte du livre) est ici:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/13/jacob-lurie-higher-topos-theory-categories-topologiques-et-ensembles-simpliciaux/

-Nous reprenons cette étude, ce travail gigantesque dans le cadre du formalisme dual de l’Ouvert et nous saisissons cette occasion pour rectifier une erreur de méthode: au lieu de nous lancer tête baissée dans l’étude du livre de Jacob Lurie, dont la difficulté rappelle celle des travaux de Grothendiek, dont Jacob Lurie est l’un des principaux continuateurs, nous aurions dû commencer par passer en revue la page du NLab consacrée à ce livre, commençant par un rapide survol dans l’avion de la “généralisation imaginative” (dixit Whitehead dans “Process and réalité”) des idées générales avant de sauter en parachute et commencer notre longue marche dans la plaine
Nous avons en effet observé grâce à un article important du blog “Mathematics with out apologies”voir notre lien:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/02/05/mathematica-without-apologies-le-programme-univalent-foundations/
se rapportant à l’article qui est ici:

https://mathematicswithoutapologies.wordpress.com/2015/05/13/univalent-foundations-no-comment/

Que ce qui est important dans la prise de connaissance d’un travail mathématique, c’est le survol des idées générales qu’il contient, plutôt que de l’embrouillamini complexe des signes formels , c’est ce que dit le Pr Donaldson ici:
One doesn’t read a mathematical paper, what one gets is the idea to reconstruct the argument it’s not that people (generally speaking) would be …checking the logic line by line — they would go and extract the fundamental idea; that’s really the essential thing.” This is very similar to one of my earlier quotations from Atiyah: “the proof is not the main thing at all.” I hope it’s clear just how radically different this is from the mainstream philosophical position, that the written proof is an imperfect approximation to an ideal formalized proof.
Ce que résume Michael Herris d’une façon platonicienne :
Donaldson (and elsewhere Atiyah, and even earlier Hardy) is saying that the written proof is an imperfect approximation to a pure stream of ideas. In that optic, not only the language of a formal proof, but even the standardized language of a publishable proof, is an obstacle to understanding, a necessary evil in the absence of a pure language of ideas.
Il est impossible de surestimer l’importance philosophique de ces lignes, je l’avais déjà remarqué à l’époque mais ne trouvais pas le cadre adéquat pour exprimer les pensées que cette lecture engendrait en moi, or cela n’est pas étonnant car ce cadre c’est celui de ce blog,qui n’existait pas encore, celui de l’Ouvert: le “pure stream of ideas” , le pur courant des idées, c’est tout simplement le Verbe mathématique intérieur, voir:
https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/03/23/la-dualite-du-verbe-chez-les-stoiciens-et-la-dualite-de-louvert/

et

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/03/23/le-verbe-mathematique-est-bien-le-verbe-interieur-propre-a-elever-lame-humaine-au-plan-spirituel-ordre-de-lesprit/

Et c’est bien ce Verbe intérieur qui est important et fondamental, du point de vue meme des “working mathématicians” ( car Michael Harris précise que la majorité de ses collègues pensent ainsi, de façon platonicienne, contre le “mainstream philosophique” qui est le formalisme, tendant à privilégier la lettre écrite des preuves formelles sur l’esprit du “pur courant des idées”.
Qu’est ce que cela signifie ? Que nous sommes contre les preuves, les démonstrations qui sont les “yeux de l’âme ” comme disait Spinoza? Évidemment non ! Mais nous disons que la vérité n’est pas dans la matérialité de ces longs enchaînements de signe, mais dans l’Esprit, le Verbe intérieur, qui en est à l’origine, la “source pure” du courant des idées. Car nous affirmons que le plan spirituel des idées prime sur leur expression écrite et langagière par le système formel des signes mathématiques. Et lorsque Michael Harris écrit ceci :

In that optic, not only the language of a formal proof, but even the standardized language of a publishable proof, is an obstacle to understanding, a necessary evil in the absence of a pure language of ideas.
Ce pur langage des idées évoque la conception, langagière, de la Mathesis universalis qu’avait Leibniz, qui est contradictoire : car la Mathesis universalis , le Verbe intérieur, ne peut pas avoir de langage qui serait “un pur langage des idées” car le langage c’est le Verbe extérieur, proeepre au plan vital! Donc ce “necessary evil” qui s’explique par l’absence d’un “pur langage des idées” est vraiment “necessary” car un tel langage sera toujours et nécessairement absent et inexistant!!!
Lire cette page pour comprendre combien la conception langagière de Leibniz à propos de la Mathesis universalis est une régression par rapport à celle , purement spirituelle, de Descartes dans les “Regulae ad directionem Ingenii” “Règles pour la direction de l’esprit”

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/mathesis-universalis-et-totalite/

La Mathesis universalis est l’unité de toutes les sciences (il n’y a de science que mathématisable, comme le reconnaissait aussi Kant, c’est à dire non pas seulement transcriptible en langage formel des mathématiques, mais pouvant être saisie dans le pur courant des idées qui n’est autre que le plan spirituel). Comme le dit Descartes : toutes les sciences prises ensemble (dans l’unité de la Mathesis universalis, qui est l’unité du plan spirituel) ne sont rien d’autre que la Sagesse humaine, qui reste toujours une et la même, et que Descartes compare à la lumière du Soleil, voir le commentaire de la Règle 1:

Nam cum scientiae omnes nihil aliud sint quam humana scientia, quae semper una
et eadem manet, quantumvis differentibus subjectis applicata, nec majorem ab
illis distinctionem mutuatur, quam solis lumen a reum, quas illustrat,
varietate, non opus est ingenia limitibus ullis cohibere: neque enim nos unius
veritatis cognitio, veluti unius artis usus, ab alterius inventione dimovet, sed
potius juvat »

Mais il existe un autre danger, comme nous l’avons déjà remarqué à propos de Badiou et de la critique que lui adressent les Nirenbergs :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/03/23/badious-numbers-a-critique-of-mathematics-as-ontology/
Ce danger c’est de transformer le platonisme véritable, qui est idéalisme de l’Esprit, en un réalisme de type formaliste , un réalisme du signe mathématique et du langage formel.
Or il est évident que Michael Harris ne tombe pas dans ce piège , qui est sans doute ce que les Nirenbergs nommé un “pythagoric snare”, confondre le Verbe intérieur qui préside à la théorie des Nombres avec la matérialité formelle des ces Nombres qui sont alors appelés “chiffres”.
Il n’y tombe pas, pas plus que la majorité de ses collègues qui “pensent comme lui” ( de façon platonicienne) parce qu’il parle d’un mal nécessaire à propos de l’absence d’un “langage du pur courant des idées”. Ceci veut dire que ce pur courant n’existe pas en dehors de l’immanence pure et radicale d’une conscience humaine, et surtout pas dans un “monde intelligible transcendant” qui pourrait être envisagé sur le modèle du “plan vital” ou monde, représenté par des signes qui exprimeraient les étants que seraient les idées : “pas de monde intelligible en dehors de l’effort d’intelligibilité d’une conscience” dit Brunschvicg. Le plan spirituel est d’ordre transcendantal, pas transcendant…
Revenons maintenant, armés de ces considérations, à la page du NLab sur le livre de Jacob Lurie par laquelle nous aurions dû commencer notre étude. Nous trouvons une première page:

https://ncatlab.org/nlab/show/higher+topos+theory

qui nous aiguille vers une seconde consacrée au livre de Jacob Lurie:

https://ncatlab.org/nlab/show/Higher+Topos+Theory

Le paragraphe “General idea” de cette page nous reporte à la 1-categorie des 0-catégories (qui sont les ensembles) et à l’approche qui est celle du livre “Categories and sheaves”:

https://ncatlab.org/nlab/show/Categories+and+Sheaves

approche qui consiste à passer des ensembles (ontologie de Badiou) aux catégories de préfaisceaux (presheaf categories” , premier exemple de topos diffèrent de celui des ensembles.

Le livre de Schapira et Kashiwara “Categories and sheaves” est ici:

https://doctrinedelascience.wordpress.com/categories-and-sheaves/
  

Advertisements
This entry was posted in Alain Badiou, category theory, Higher category theory, Higher topos theory, Ontologie, Ouvert : dualité plan vital-plan spirituel, Philosophie, Plan vital-plan spirituel, Platon, Science, mathesis, Théorie des ensembles (set theory), Théorie des topoi (topos theory) and tagged , , , , , . Bookmark the permalink.