Internal categories ; théorie des catégories internes

J’ai déjà fait allusion à la notion de “catégorie interne à une catégorie” dans cet article:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/04/17/appropriation-et-pensee-ontologique/

De même que l’ontologie mathématique, la théorie des ensembles, proscrit l’existence d’un universel concret ( appellation de David Ellerman pour désigner un universel participant à lui même) , d’un ensemble élément de lui meme, et d’un ensemble de tous les ensembles ( ces trois interdits sont un seul et le même) , de même l’hénologie ou HENOSOPHIA mathématique proscrit l’existence d’une catégorie interne à elle même, voir :

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/05/01/une-categorie-interne-a-elle-meme/
Nous n’avons pas encore étudié la notion de catégorie interne à une autre cat’gorie, mais cela ne saurait tarder car j’en ai besoin pour mes travaux spéculatifs à la recherche d’un cadre mathématique rigoureux pour la théorie de l’Ouvert…j’ai de grandes ambitions pour ce blog et je veux en faire émerger une nouvelle science “philosophique”, qui sera bien plus étendue que la physique tout en l’englobantet en employant les mêmes méthodes rigoureuses, et elle pourra découvrir la fameuse TOE (“theory of everything” , “théorie de Tout” ) que la physique cherche comme son Saint GRAAL, mais qu’elle ne saurait trouver parce qu’elle ignore le plan spirituel et restreint son objet à la physis, au plan vital’ à l’ordre de la matière.
Venons en à l’oubli de l’Un en expliquant sommairement ce que c’est qu’ une catégorie interne à une autre catégorie:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_catégories

https://ncatlab.org/nlab/show/internal+category

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Internal_category

Définir une catégorie “classique” revient à définir la collection O de ses objets et la collection M de ses morphismes ou flèches, et ces deux collections sont en général des ensembles ( ce peut être des classes, c’est à dire des collections “trop grandes pour etre un ensemble”) c’est à dire des objets de la catégorie des ensembles Ens ( les classes aussi forment une catégorie) . Outre ces deux ensembles (ou classes) il faut en plus donner des fonctions (des morphismes dans la catégorie Ens donc) :
Une flèche O —-> M associant à chaque objet son morphisme-identité
Deux flèches M—-> O assignant à chaque morphisme son objet-source et son objet-cible
Et une fleche M x M ——> M indiquant comment deux flèches qui se suivent se composent pour n donner une autre

Et ces flèches et collections forment des diagrammes commutatifs pour représenter les propriétés ( comme l’asssociativité de la composition des morphismes) voir la page du nlab donnée ci dessus.
Maintenant ce processus peut être généralisé à n’importe quel autre catégorie que Ens, en prenant pour collections d’objets et de morphismes des objets dans cette catégorie plus générale et en les liant par des flèches de cette catégorie plus générale, formant des diagrammes commutatifs comme ceux de la page du Nlab ci dessus.
Maintenant l’oubli de l’Un peut se comprendre comme plus haut l’oubli de l’être tel que je l’ai expliqué dans le cadre de la théorie des ensembles : un étant est un ensemble qui appartien à un autre et c’est cela son “être ” , cet ensemble plus large (pouvant être le plus large possible, ensemble de tous les ensemblesqui en fait ne peut exister) dont l’étant est un élément . Pour que l’être ne soit pas oublié il faudrait qu’il devienne un étant, un élément de lui meme, de l’ensemble qu’il est qui devrait donc s’appartenir à lui même, or c’est impossible en théorie des ensembles car conduisant au paradoxe de Russell.
De même les catégories sont le cadre pour la pensée de l’Un , une catégorie unifié les structures qui en sont les objets en les reliant par des flèches, ainsi une catégorie est un cadre pour unifier un système d’objets qui sont ses objets et là aussi la pensée qui se fixe sur un des objets peut “oublier” la catégorie totale et donc “oublier l’Un” en oubliant le cadre de l’unification .
Pour prendre un exemple, un mathématicien occupé par un problème particulier en topologie fixera son esprit sur l’espace topologique particulier où se situe son problème, et oubliera les autres espaces topologiques et surtout la catégorie Top des tous les espaces topologiques qui les unifie. Qu’est ce qu’il faudrait pour que la pensée n’oublie pas ainsi la catégorie totale? Il faudrait que celle ci devienne visible avec tout ce qui assure le système d’unification qu’elle est, c’est à dire que devienne visible, parmi les autres objets , avec les deux objets de “tous ses objets” et “tous ses morphismes ” accompagnés par le système de diagrammes commutatifs montrant comment elle unifie ses objets, tel que je viens de l’expliquer à propos des “catégories internes” : en un mot il faudrait que la catégorie totale devienne interne à elle mêmepour qu’il n’y ait pas oubli de l’Un. Or comme nous l’avons vu c’est impossible, proscrit par la mathématique des catégories, et le lien que j’ai donné ci dessus démontre cela..c’est un peu dur à suivre car ce lien n’est pas issu d’un article scientifique mais d’un dialogue sur la “mailing list” des catégories. Là encore l’oubli de l’Un s’ensuit des mathématiques elles mêmes, et on peut penser à former un mathème de l’événement d’un autre genre que celui de Badiou : un tel événement serait constitué par la forme pure (diagrammatique) d’une catégorie interne à elle même et ce serait un remède à l’oubli de l’Un, ce suprême danger de la pensée . Cela pourrait être vu comme un “événement du plan spirituel” de la même manière qu’un ensemble élément de lui meme est le mathème d’un événement historique, comme l’affirme Badiou

L’un des intérêts majeurs du schéma de pensée de l’Ouvert est qu’il est directement en prise sur la mathématique des catégories et foncteurs, c’est à dire formalisable dans ce cadre mathématique, de même que les développements de la pensée philosophique de Badiou sont directement en prise sur la théorie des ensembles et celle du “forcing” de Paul Cohen (pour ce qui est de “L’être et l’événement”) et sur la théorie des topos (pour ce qui est de “Logiques des mondes”).Mais Badiou choisit pour le mathème de son concept d’événement une entité qui est interdite par l’ontologie mathématicienne, à savoir un ensemble qui est élément de lui même, qui s’appartient à lui même:
Un mathème donc de la forme : A ∈ A

Pour la pensée selon l’être, ontologique, il n’y a que des ensembles ; tout ce qu’il y a ce sont des ensembles; pour la pensée selon l’Un dont nous entendons ici fixer les conditions, il ne peut donc y avoir que des catégories . Or , il n’y a qu’une seule mathématique parce qu’il n’y a qu’une seule Raison universelle des esprits (ce sera la forme admissible dans ce blog du principe du monothéisme ” il n’y a qu’un seul Dieu ” encore est ce là une forme trop “ontologique” , à cause du “Il y a”) et la théorie des catégories est le cadre actuel de cette mathématique, d’ailleurs un ensemble est une catégorie (sans flèches) donc la pensée hénologique contient, si l’on peut dire, la pensée ontologique , elle en constitue une surimposition, un relèvement où , selon les formulations de Frank Jedrzejewski, les “usants” remplacent les étants.Et , comme il est montré dans l’article précédent (” Appropriation et pensée ontologique”) , dont le lien est donné en début de cet article penser l’événement selon l’Un revient à empêcher l’oubli de l’Un comme penser l’événement dans le cadre ontologique revient à remédier à l’oubli de l’Etre . Or l’événement est le mathema “impossible” , proscrit par la mathématique , d’une catégorie interne à elle même.
Il est donc nécessaire d’examiner cette notion importante d’une catégorie interne à une autre catégorie, dans cette page:

https://ncatlab.org/nlab/show/internal+category

Le paragraphe “Ideas” qui donne l’idée générale fait le rapprochement avec deux notions mathématiques bien connues:

– les groupes de Lie peuvent être vus comme groupes internes à la catégorie Man (= manifolds) des variétés différentielles :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Variété_différentielle

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Lie

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Category_of_manifolds

Rappel : un groupe peut être vu comme une catégorie à un seul objet dont tous les morphismes sont des isomorphismes (ces morphismes correspondent aux éléments du groupe, qui par définition sont tous inversibles, aussi les morphismes sont inversibles donc ce sont des isomorphismes) donc un groupe est dit interne s’il l’est en tant que catégorie)

– les groupes topologiques peuvent être vus comme groupes internes (au sens expliqué ci dessus) à la catégorie Top des espaces topologiques

Il existe aussi un mixage des deux notions : variétés (manifolds) et topologie . Ce sont les variétés topologiques (topological manifolds)voir ce blog excellent :

https://drexel28.wordpress.com/2010/04/01/topological-manifolds/

Je viens de bloguer des articles depuis ce blog qui me semblé intéressant car rigoureux: sur la catégorie Man des variétés différentiels, et sur l’adjonction notamment.

La page du Nlab sur les catégories internes parle au début des “pullbacks” (en français “produits fibrés”) un exemple très important de “limite”:

https://ncatlab.org/nlab/show/pullback

C’est qu’on a besoin de cette notion pour définir des diagrammes commutatifs afin de formaliser les propriétés des catégories internes (voir paragraphe “Définition”) , ce qui se fait à l’aide de diagrammes contenant l’objet des objets de la catégorie interne : C0 et l’objet des morphismes C1 , donc une catégorie interne ne pourra se définir ainsi que dans une catégorie (un topos notamment) où les “pullbacks” existent.
Sinon la page explique une autre méthode de définir des catégories internes:

https://ncatlab.org/nlab/show/internal+category+in+a+monoidal+category

méthode valable dans une catégorie dite monoidale, disposant d’un produit tensoriel entre les objets: ⊗

https://ncatlab.org/nlab/show/monoidal+category

Les pullbacks sont remplacés dans cette méthode plus générale par des “coproduits tensoriels de comonades” (notion définie sur la page Nlab)dans la catégorie monoidale de départ (où l’on veut définir une catégories interne)

Cet article étant déjà lourd, il sera poursuivi plus tard, nous verrons notamment la relation entre les catégories internes, les monades, et la “higher category theory” qui est l’un des thèmes privilégiés de ce blog au plan mathématique (à travers le livre de Jacob Lurie “Higher topos theory”)

Rappelons que monades, adjonction et propriétés universelles sont liés:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/09/12/monades-en-theorie-des-categories/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/09/14/physique-categorique-dynamique-des-monades-temps-et-changement/

et le temps, cette notion si insaisissable selon Aristote et Saint Augustin, peut être vu comme une “propriété universelle” du changement, c’est à dire comme un relèvement au plan de l’idée d’une notion commune sur le plan vital (“tout passe, tout casse, tout lasse”)

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