Monades, adjonctions, universel

J’ai reblogué hier, comme préparation à celui ci, qui vise surtout au rappel de plusieurs notions, plusieurs articles techniques sur les monades, en provenance soit de mon autre blog HENOSOPHIA :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/wp-admin/edit.php

soit d’un autre, plus “mathématique”.

Cet article servira aussi à “unifier”, en en soulignant la cohérence (du moins espérons le) les travaux déjà entrepris ici ou sur les blogs associés HENOSOPHIA , qui visent à rien moins qu’à poursuivre l’œuvre métaphysique , dans ce qu’il appelle la “loi de création”, voir:

https://apodictiquemessianique.wordpress.com/2012/11/12/loi-de-creation-et-theorie-des-categories/

du philosophe-mathématicien Hoené Wronski (1776-1853), qui était l’inspirateur spirituel de Balzac, cet immense démiurge qui rend quasiment visibles aux yeux de l’âme, dans sa “Comédie humaine”, le plan vital et le plan spirituel à l’œuvre sur notre terre, pour les générations de lecteurs qui se sont succédés depuis près de deux siècles, et dont le nom associé à ceux de Descartes, Malebranche et Brunschvicg (n’oublions pas celui de Grothendieck) peut seul nous rendre fiers d’être français dans les heures sombres que traverse notre pays.

L’adjonction est certes une notion fondamentale:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/07/06/une-notion-fondamentale-ladjonction/

apportée par la théorie des catégories née en 1945 des travaux d’Eilenberg et Mac Lane, voir “A general theory of natural equivalences”:

http://killingbuddha.altervista.org/FILOSOFIA/GToNe.pdf

mais l’on peut dire la même chose de la notion de monade, qui lui est d’ailleurs étroitement liée:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/09/12/monades-en-theorie-des-categories/

et d’ailleurs il semble que Mac Lane leur ait donné ce nom par analogie avec la monadologie leibnizienne :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Monade_(théorie_des_catégories)

“Saunders Mac Lane leur donne le nom de « monades », par analogie avec le concept philosophique d’une entité capable de générer toutes les autres, dans son livre Categories for the Working Mathematician.”
La proximité avec la notion d’adjonction est que toute paire de foncteurs adjoints donne lieu à une monade. Et réciproquement à toute monade donnée sous la forme d’un endofoncteur T obéissant à certaines conditions correspond une paire de foncteurs adjoints:

image

Avec T= G ∘ F
La démonstration de cette réciproque est donnée dans un article de Samuel Eilenberg et John Moore: ” adjoint functors and triples” :

http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ijm/1256068141

Et la construction qu’ils donnent est “universelle” parmi toutes les décompositions possibles de l’endofoncteur T (en quoi consiste la monade)en T = G ∘ F

Venons en justement à la notion de propriété universelle ou de construction universelle qui se caractérise toujours par l’existence d’une flèche unique rendant commutatif un diagramme. La notion catégorique de limite regroupe des constructions telles que celle du produit , de l’exponentielle , du produit fibré : : un objet initial ( objet muni d’une flèche unique en direction de tout autre objet de la catégorie) peut être vu comme un cas de limite (limite du diagramme vide) et réciproquement toute limite peut être vue comme un objet initial (ou terminal, notion duale de celle d’objet initial) dans une certaine catégorie de “cônes” , ou encore un cône universel, voir le paragraphe “définitions” de cette page:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Limite_(théorie_des_catégories)

Le schéma rend le texte plus clair, comme d’habitude:

image

Une propriété universelle est associée à un objet qui est solution d’un problème universel:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Propriété_universelle

page intéressante parce qu’elle donne de nombreux exemples dans l’algèbre élémentaire : modules quotients, corps de fractions, anneaux de fractions…
Un problème universel peut être vu comme un objet initial (ou terminal, notion duale) au total l’universel catégorique dit “concret” par David Ellerman tient tout entier dans cette factorisation par une flèche unique , c’est à dire que cette flèche rend tout un diagramme commutatif, tous les chemins sont équivalents (c’est là ce que l’on appelle commutativité:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Problème_universel

La différence entre l’universel abstrait (ensembliste) et concret (catégorique) tient au fait que la relation de participation à un universel considéré comme un ensemble est la relation d’appartenance : ∊

a ∊ A signifié : a appartient à A ou est élément de A. Or cette relation n’est pas transitive a ∊ A et A ∊ B n’implique pas a ∊ B , ce qui serait vrai par contre si la relation de participation était la relation d’inclusion entre ensembles qui est une relation d’ordre , réflexive, transitive et antisymétrique, relation qui peur etre vue comme une flèche dans une catégorie:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Relation_d%27ordre

Un ensemble ordonné peut être vu comme une catégorie :il y a une flèche allant de l’objet A à l’objet B:

A → B

Si et seulement si :

A ≤ B (en tant qu éléments de l’ensemble ordonné par la relation d’ordre ≤ )
Les flèches se composent entre elles mais ce n’est pas le cas de la relation d’appartenance à un ensemble ∈ qui ne peut donc être vue comme une fleche dans une catégorie. Or dans le domaine de la théorie des catégories la relation de participation d’un objet à un universel envisagé comme objet dans la même catégorie est tout simplement l’existence d’une flèche unique obéissant à certaines conditions ( cette fleche doit être un monomorphisme) dirigée de cet objet vers l’objet jouant le rôle d’universel, voir là dessus es travaux de David Ellerman, voir mes articles ou pages :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/11/david-ellerman-theorie-des-ensembles-et-universaux-abstraits/

https://leonbrunschvicg.wordpress.com/universalisme-concret-categorique-ou-abstrait-ensembliste/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/18/david-ellerman-concrete-universals-in-category-theory/

Un universel conçu comme objet dans une catégorie participe donc toujours à lui même, ou, dans la terminologie de David Ellerman, un universel catégorique est toujours concret parce que selon les axiomes de la théorie pour tout objet U dans une catégorie il existe toujours un “morphisme-identité”

IdU : U → U

Qui peut jouer ce rôle de participation de U à lui même
Par contre en théorie des ensembles, aucun universel envisagé comme un ensemble ne peut participer à lui même car cela voudrait dire que cet ensemble est élément de lui même :

U ∈ U
Or ceci est interdit par la théorie à cause du paradoxe de Bertrand Russell :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Russell

Un universel ensembliste est donc toujours abstrait :c’est une caractéristique de la pensée ontologique, selon l’être, représentée en mathématiques par la théorie des ensembles, comme l’a démontré Alain Badiou dans “L’être et l’événement”. Par contre la théorie des catégories, qui représente en mathématiques la pensée selon l’Un, hénologique, HENOSOPHIA, est une pensée des universaux concrets. La notion de problème universel, qui est identique à la pensée d’un objet initial (ou final, ce qui est la notion duale, en inversant le sens des flèches) dans une catégorie, remonte à Hoené Wronski qui dans la première moitié du 19eme siècle n’avait pas à sa disposition la théorie des catégories (inventée en 1945) ni d’ailleurs la théorie des ensembles sortie des travaux de Cantor à la fin du 19eme siècle :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_ensembles

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor

Les deux types de pensée n’avaient donc pas été isolés et discriminés du temps de Wronski, qui manquait donc d’une base essentielle pour parvenir à la Clavis Universalis qui est pourtant déjà en germe dans son système où la dualité entre élément-etre et élément-Savoir est bien proche de la dualité évoquée ici entre plan vital-ontologique et plan spirituel-hénologique. C’est d’ailleurs la méditation intense des œuvres de Wronski que j’ai connu par Balzac, qui m’a donné l’idée de l’Ouvert : “nous sommes des nains montés sur des épaules de géant

On pourra lire cet article de moi :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/12/05/lidee-de-probleme-universel-un-important-promontoire-pour-une-vision-de-lunite-de-la-mathesis/

sur cette idée cruciale de “problema universale”, qui est au fondement su système mathématico-métaphysique de Wronski “l’une des plus fortes têtes de l’Europe” selon Balzac.

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