#GrothendieckTopos 6 exemples classiques de topologies de Grothendieck

J’avais écrit cinq articles à propos du cours donné en 2013 sur les topos de Grothendieck, le dernier article est ici:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/30/grothendiecktopos-5-idee-centrale-du-cours-sur-les-topoi-de-grothendieck-comme-ponts-unifiants/

Et à chaque fois je donne le lien de l’article précédent donc on peut remonter de proche en proche…jusqu’au premier…
Le cours d’Olivia Caramello est ici :

https://sites.google.com/site/logiquecategorique/cours/topos_caramello/cours-du-14-janvier-2013-rappels-sur-les-topos-de-grothendieck#TOC-Faisceaux-sur-un-espace-topologique

En une vingtaine de vidéos numérotée de 1 à 23 (mais certains numéros manquent, comme le 10)

Nous avons étudié les six premières, aujourd’hui nous étudions la vidéo 7: “Exemples de topologies de Grothendieck (topologies usuelles; triviale; atomique)”

Commençons par rappeler les principales notions déjà vues :

Un topos de Grothendieck est une catégorie de la forme :

Sh (C, J)

Ou une catégorie équivalente à une catégorie de cette forme.

L’équivalence de catégories :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Équivalence_de_catégories

est une notion plus faible que l’isomorphisme entre catégories (un foncteur est un morphisme entre catégories, et c’est un isomorphisme s’il existe un morphisme inverse, tel que le composé dans un ordre ou dans l’autre soit l’identité) :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Isomorphisme_de_catégories

L’équivalence est une notion intéressante pour formaliser les situations de dualité.

La notation Sh(C, J) désigne la catégorie des faisceaux sur le site (C, J) c’est à dire la catégorie dont les objets sont les foncteurs de la catégorie (C, J) vers la catégorie des ensembles Set ( Set est la notation en anglais pour la catégorie des ensembles, en français on note Ens mais je prends la même notation qu’Olivia Caramello)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Foncteur

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Préfaisceau

(En fait la définition fonctorielle que j’ai donné ci dessus est celle des préfaisceaux (presheaves) pour avoir un faisceau (sheaf, sheaves) il faut rajouter une condition de “recollement” de propriétés locales, comme expliqué dans la page Wikipedia ci dessus à propos des fonctions indéfiniment dérivables sur une variété différentielle)

Un site est une catégorie de la forme (C, J) où C est une catégorie munie d’une topologie de Grothendieck J. La notion de topologie de Grothendieck est bien représentative du génie de Grothendieck qui peut se résumer à la formule: “simplifier en généralisant” comme le dit sur lui en 1966, en le comparant à Hilbert, son ancien professeur Dieudonné qui, émerveillé par son génie, est devenu quasiment son élève et même “secrétaire”:

http://www.mathunion.org/ICM/ICM1966.1/Main/icm1966.1.0021.0024.ocr.pdf
(Voir la fin page 3)

Grothendieck a généralisé au cadre catégorique les notions de la topologie dans le cadre ensembliste: un espace topologique est un ensemble X de points, muni d’une topologie , c’est à dire d’un ensemble de sous-ensembles de X obéissant à certaines conditions(notamment stabilité par réunion, intersection finie et complémentation):

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Topologie

De nombreuses structures sont définies de cette manière “ensembliste”, ainsi par exemple un espace mesurable , notion de base de la théorie de la mesure et des probabilités, est un ensemble X muni d’une sigma-algèbre ou “tribu” c’est à dire un ensemble de sous ensembles de X (stable par union et intersection dénombrables et par complémentation)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Espace_mesurable

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Tribu_(mathématiques)

Le passage au cadre catégorique a attendu beaucoup plus longtemps pour la théorie de la mesure, nonobstant les travaux de Fred Linton (dans les années 60 il me semble) sur “the functorial nature of measure theory” . Il y a quand même eu des résultats en ce sens, voir:

https://www.andrew.cmu.edu/user/awodey/students/jackson.pdf

https://golem.ph.utexas.edu/category/2007/02/category_theoretic_probability_1.html

https://arxiv.org/pdf/1205.1488.pdf

https://ncatlab.org/nlab/show/Giry+monad

https://arxiv.org/pdf/1601.02593.pdf

https://arxiv.org/abs/1406.6030

en tout cas cela n’a pas provoqué une révolution de la pensée , un changement de plans (je fais là allusion à la dualité des pensées mathématiques, ensembliste et catégorique , qui provient de la dualité métaphysique des plans, de l’Ouvert) comme la création de la théorie des topos par Grothendieck, qui a accompagné le transfert du traitement des notions topologiques du cadre ensembliste de pensée au cadre catégorique.

Ce transfert passe par la notion de crible (“sieve”) et de topologie de Grothendieck, c’est expliqué dans #GrothendieckTopos 3 :

https://renatuscartesiusmathesisuniversalis.wordpress.com/2015/07/01/grothendiecktopos-3-topologie-de-grothendieck-sur-une-categorie/

Une topologie classique, dans le cadre ensembliste, consiste en une famille d’ouverts, c’est à dire de sous-ensembles, qui, ordonnés par l’inclusion, forment un treillis c’est à dire une catégorie : il y a une flèche entre deux objets A et B si et seulement si A est inclus dans B.
La généralisation au cadre catégorique consiste alors à partir d’une catégorie générale ( qui ne sera plus forcément un treillis) et à remplacer, par généralisation dans la notion de crible (“sieve”) le recouvrement d’un ouvert par des inclusions de sous -ouverts (qui peuvent être vus comme une famille de flèches, les flèches correspondant à ces inclusions). Ensuite on arrive à la notion de topologie de Grothendieck comme foncteur associant à chaque objet de la catégorie C un ensemble de cribles, appelés J-couvrants (qui sont eux même des familles de flèches ayant un codomaine commun) obéissant à certaines conditions .
Le lien que j’avais donné dans #GrothendieckTopos 3:

http://kevin.quirin.free.fr/Trucs/memoire_M2.pdf

est très clair ( page 6-7 pour la notion de crible et de topologie de Grothendieck comme foncteur associant à chaque objet un ensemble de cribles) et possède en outre le grand intérêt d’aborder les travaux et la méthode de forcing de Paul Cohen , tres importants pour quiconque s’intéresse à la pensée de Badiou.

Ce qu’il faut bien garder en mémoire, et qu’Olivia Caramello répète plusieurs fois, c’est qu’il peut y avoir plusieurs topologies de Grothendieck pour une même catégorie. Elle donne trois exemples de telles topologies:

-la topologie canonique en prenant comme catégorie C la catégorie des ouverts d’un espace topologique et comme cribles J-couvrants les recouvrements d’un ouvert par des sous ouverts dont il est la réunion
-la topologie obtenue en ne retenant comme cribles J-couvrants que le crible maximal; dans ce cas tout Préfaisceau est automatiquement un faisceau , de forme [Cop, Set] (cette notation signifie les foncteurs dirigés de la catégorie opposée de C, ayant les mêmes objets mais toutes les flèches en sens inverse , vers la catégorie Set des ensembles)En particulier, si l’on prend pour C la catégorie triviale à un seul objet, on voit que cela donne Set qui est donc un topos de Grothendieck

-enfin la topologie atomique, qui intervient dans la version catégorique de la théorie de Galois (“categorical Galois theory”)

https://ncatlab.org/nlab/show/categorical+Galois+theory

Soit C une catégorie possédant la propriété duale (ou opposée ) de la propriété d’amalgamation c’est à dire que si l’on a un couple de flèches ayant une même cible X , on peut compléter en un diagramme commutatif en rajoutant deux flèches de façon à obtenir, comme Olivia l’explique au tableau, un carré commutatif de flèches . Alors la topologie atomique est obtenue en prenant pour cribles couvrants , pour un objet quelconque, tout crible qui soit non vide.

Application de la topologie atomique à la théorie de Galois

Soit F un corps (“field”) une extension K de F est un corps K contenant F comme sous corps:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Corps_(mathématiques)

La catégorie dont parle Olivia Caramello à la fin est la catégorie ayant pour objets les extensions intermédiaires finies L c’est à dire les sous corps L de K ayant F comme sous-corps:

F ⊂ L ⊂ K

Et ayant comme flèches les homomorphismes de corps (conservant la structure de corps)
On obtient alors un résultat extrêmement important qui fait en quelque sorte "toucher du doigt" la manière dont les topos peuvent unifier la mathématique en rapprochant des domaines différents .
Cette catégorie C des extensions intermédiaires finies possède la propriété d’amalgamation , donc sa catégorie duale possède la propriété opposée, on peut donc définir une topologie atomique dessus. Le Résultat le plus profond s’écrit alors comme une équivalence de deux topos:

Sh (C op , Jat)≃ Cont ( AutF(K )

Le topos à gauche est le topos de Grothendieck des faisceaux sur la catégorie C munie de la topologie atomique; celui à droite du signe d’isomorphisme est le topos des actions continues du groupe de Galois de K sur F AutF(K) ( groupe des automorphismes du corps K fixant , c’est à dire laissant invariant,le sous corps F) groupe envisagé comme groupe topologique.

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Galois

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