La métacatégorie CAT de toutes les catégories comme modèle mathématique du monde des Idées de Platon

Cet article vient à la suite de celui ci:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/22/premiere-pierre-pour-une-nouvelle-science-internelle-mathesis-universalis-lidee-de-lun/

Où j’étais parvenu à la conclusion que CAT, c’est à dire la (méta)catégorie de toutes les catégories est l’Idée de l’Un, ce que j’avais rapproché de la thèse de cet article datant de 1968 de David et Marilyn Edwards:

The Category of categories as a model for the Platonic World of Forms

http://alpha.math.uga.edu/~davide/The_Category_of_Categories_as_a_Model_for_the_Platonic_World_of_Forms.pdf

sur lequel je reviens aujourd’hui, compte tenu de son importance philosophique extrême ( et notamment pour le platonisme qui est “la vérité de la philosophie”)

Revenons sur quelques points techniques et de terminologie : une “petite” catégorie est une catégorie dont les collections de tous les objets et de tous les morphismes sont des ensembles et non des classes (si cette condition n’est pas remplie, on dit que la catégorie est “large”):

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Classe_(mathématiques)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_ensembles_de_von_Neumann-Bernays-Gödel
Toutes les “petites” catégories prises ensemble peuvent être organisées en une catégorie notée Cat , catégorie qui n’est pas “petite” mais “large”:

https://ncatlab.org/nlab/show/Cat

Cat peut aussi être vue comme une 2-catégorie et un 2-topos:

https://ncatlab.org/nlab/show/2-topos

Mais l’on peut aussi définir une catégorie CAT dite “très large” de toutes les catégories, larges ou petites : c’est une métacatégorie, terme que j’ai utilisé dans le titr, voir:

https://ncatlab.org/nlab/show/CAT

https://ncatlab.org/nlab/show/metacategory

Dans leur papier les Edwards emploient le terme “meta-category” en fin de page 2 , ils parlent donc bien de CAT , comme “modèle du monde platonicien des Idées” ( ce que j’appelle ici le plan spirituel ou plan internel). Je choisis aussi de parler comme eux de CAT comme modèle mathématique du monde des Idées et non pas de dire que CAT est purement et simplement le plan internel de Platon. Pourquoi? parce que je tente d’introduire ici une nouvelle science, voir:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/06/une-science-de-lesprit/

qui soit au monde des Idées de Platon ce qu’est la physique au monde physique. Je choisis de ne pas identifier purement et simplement CAT au monde des Idées , pas plus que la physique de dit que l’espace de Minkowski de la relativité restreinte est identique au monde physique . Il est vrai que l’on pourra me rétorquer que la raison pour ne pas identifier les essences mathématiques aux entités spatio-temptelles qu’elles représentent, c’est que ce sont des Idées, et que cela reviendrait à confondre le plan de l’Idée et le monde. Mon choix n’est donc pas définitif, j’ai besoin d’en savoir plus sur le platonisme, notamment sur ce que Brunschvicg en dit, le plus important à mes yeux… Je rappelle simplement que ce que j’ai démontré c’est que CAT , qui est une Idée, est l’Idée de l’Un, qu’à son tour n’identifie au plan internel, mais qu’est ce que cela signifie d’identifier deux Idées, comme dans le monde on identifie deux objets , par exemple voir le débat bien connu sur le “sens et la référence” en philosophie analytique : en quel sens l’étoile du soir est elle identique à l’étoile du Berger (Vénus)?

L’article de David et Marilyn Edwards insiste sur le rôle fondateur de William Lawvere:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/William_Lawvere

Qui pour la théorie des topos est aussi important que Grothendieck : ce dernier se situe sur le versant géométrique (géométrie algébrique ) qui remonte aux travaux de Descartes et à sa “Géométrie”, tandis que Lawvere est plutôt logicien, très influencé en philosophie par Hegel .

Les Edwards insistent sur la différence énorme entre l’esprit d’universalité des Grecs (page 1, 2) et celui des autres peuples dont les mathématiques étaient empiriques et techniques (“engineering”) , une collection de recettes qui marchent. Thalès a introduit le premier le concept de preuve, ou démonstration, et de théorie formelle, montrant que certaines propositions peuvent être déduite d’autres en suivant des règles de logique. Ce fut, selon la formule des Edwards page 2 “le début de l’envol de l’humain du particulier au général” c’est à dire l’envol du plan vital au plan spirituel de l’universel (plutôt que du général ).L’article des Edwards aborde ensuite Platon qui accordait une grande importance à la géométrie (on connaît ses citations célèbres : ” Dieu géométries toujours” et ” Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre” ) , il continua la tendance de Thalès qui le premier à ru l’idée de la pensée et du système formel, et voulut étendre à tout le champ de la pensée humaine la méthode géométrique (au fond, c’est là l’ancêtre du projet de Mathesis universalis20 siècles plus tard) mais il échoua parce que selon l’article il ne réussit pas à dépasser le “niveau conceptuel” ( qui correspond à l’ordre du discours et des logoi chez Brunschvicg) pour accéder au niveau formel (qui correspond aux mathemata et aux relations de la science chez Brunschvicg)

La réussite de ce projet inabouti de Platon fut le fait de Lawvere :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/William_Lawvere

Qui ne fut pas l’inventeur au sens strict de la théorie des catégories (ce furent Mac Lane et Eilenberg qui l’a créèrent en 1945, Eilenberg ayant été le directeur de thèse de Lawvere) mais (cf page 4) “axiomatisa” la métacatégorie CAT des catégories, c’est à dire en créa la notion formelle, dérivée d’un système d’axiomes.
Selon la formulation de la page 3 (ou 4 , selon que l’on lit la numérotation du document en haut de page ou bien que l’on s’attache au numéro du fichier pdf) , Lawvere a réussi ce que voulait faire Platon : unir niveau conceptuel et niveau formel, ce que l’article appelle union du formalisme de Descartes et du conceptualisme de Platon.,” deux géants sur les épaules desquels il est monté “disent les Edwards en citant Newton.
Cette union se réalise dans l’axiomatisation par Lawvere de CAT, qui fait l’objet de ses premiers articles, cités page 3, articles qui sont tous accessibles sur le web, qui permet ainsi un miracle qui fait pardonner bien des choses (publicités, porno, sites terroristes) si comme je le pense le platonisme est bien d’une importance cruciale pour notre temps : or CAT , qui est l’Idée de l’Un-Bien , est aussi la mise à disposition de tous du platonisme (à condition de faire l’effort d’apprendre les rudiments de la théorie des catégories, ce qui est possible ici).

Ce dont hérite Lawvere pour réussir le projet platonicien , le plus important pour notre temps, qui consiste à unir plan du discours , c’est à dire plan vital-ontologique, et plan formel du mathème, c’est à dire plan internel de l’Idée , c’est de l’abstraction de la notion ensembliste de fonction qui aboutit à l’idée de morphisme dans une catégorie et de foncteur entre catégories.,,La formalisation de la notion de fonction , qui dans le cadre ensembliste n’est claire que pour des ensembles finis, est nécessaire pour passer à des domaines comme la topologie algébrique , et cela conduisit Eilenberg et Mac Lane à l’axiomatisation de la notion de morphisme -, et c’est d’eux que s’inspire Lawvere pour réaliser le projet de Platon : étendre la méthode et la pensée mathématique (pour Platon c’était la géométrie) à tout le champ de la pensée humaine, ce qui est donc réalisé par la découverte de CAT , qui peut donc être comprise comme la réalisation du projet de Mathesi universalis, comme je l’avais dit dans mes premiers blogs ( après j’étais revenu sur ce propos et j’avais donc tort). Ceci nous aide aussi à comprendre pourquoi la théorie des catégories peut être conçue comme cadre mathématique du plan internel de l’Idée, parallèlement à la démonstration par Badiou du fait que la théorie des ensembles ( axiomatisée par Zermelo-Fraenkel) est le cadre de la pensée ontologique (notre plan vital-ontologique): la vraie raison en est que CAT est l’Idée de l’Un-Bien de Platon ( ou son modèle, ou “représentant” mathématique dans la nouvelle science, analogue pour le plan internel à la physique mathématique pour le plan vital) et que Set, catégorie des ensembles, est l’Idée de l’être , comme nous l’avons démontré ici.
En haut de la page 5 , l’article des Edwards met l’accent sur une propriété singulière de la théorie des catégories, qui explique le rôle fondationnel qu’elle joue pour les mathématiques (comme l’a démontré Lawvere) : la propriété de stabilité sous transition du langage formel aux métalangages . Aussi pourrait elle jouer le rôle que Leibniz , dans sa conception langagière, fixait pour la Mathesis universalis : car lorsqu’on parle dans un métalangage des signes appartenant au langage formel, on parle bien de la même chose, qui est la chose même du langage formel ( exemple : une flèche signe formel d’un morphisme) Au fond cela signifie que l’on n’observe plus , au plan internel ayant pour cadre la théorie des catégories , cette opposition que note Brunschvicg entre niveau du discours et des logoi, et niveau des mathématiques. L’union des deux niveaux, du niveau conceptuel de Platon et du niveau formel de Descartes, est parfaitement réalisée dans CAT, grâce aux travaux de Lawvere. Cela est dû au fait que CAT est l’Idée de l’Un, de la loi suprême d’unité pensée par Brunschvicg : on peut aussi dire que CAT est le cadre mathématique d’exercice de cette loi suprême, qu’avait déjà découverte Wronski mais à laquelle il donnait un cadre mathématique imparfait , à base de séries et de fonctions, seules connaissances disponibles à son époque pré-Galoisienne . On peut donc dire que Lawvere avec la formalisation de CAT, réalise le projet de Platon, de Wronski mais aussi de Brunschvicg et de sa loi d’unité .

https://horreurislamique.wordpress.com/african-spir-hoene-wronski-et-leon-brunschvicg/

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