#HigherToposTheory : ensembles simpliciaux et quasi-catégories

Les deux derniers articles du hashtag #HigherToposTheory sont ici:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/03/25/hhighertopostheory-le-livre-de-jacob-lurie-et-son-etude-dans-le-cadre-de-louvert/

et

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/13/jacob-lurie-higher-topos-theory-categories-topologiques-et-ensembles-simpliciaux/

Le but des articles de ce hashtag est d’étudier le livre de Jacob Lurie “Higher topos theory” qui est accessible de plusieurs manières sur le web, par exemple:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

Il y a beaucoup d’exemples de livres mathématiques de pointe ainsi mis à disposition gratuitement ; j’ai pour habitude de ne jamais donner de tels liens sans avoir acheté ces livres en librairie ( on les trouve chez Gibert, ou bien sur Amazon) car il faut que leurs auteurs puissent disposer des revenus de leur (énorme) travail, compte tenu du fait que ce sont des “purs” , des “spirituels” qui refusent forcément de se prostituer au “Gestell” comme le font hélas trop souvent certains autres “intellectuels”, plus “littéraires”. Je possède le livre de Lurie depuis longtemps, ainsi que ce livre de Carlos Simpson très utile pour étudier les n-catégories ou “Higher categories”:

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00449826/file/main.pdf

Pour l’architecture d’ensemble de ce vaste ouvrage, voir la page du Nlab qui lui est consacrée :

https://ncatlab.org/nlab/show/Higher+Topos+Theory

Je dois étudier ces “catégories supérieures” parce qu’il s’agit d’une continuation, d’une généralisation de la “montée vers l’Absolu” qui se traduit par le passage de la catégorie la plus basse Set , celle des ensembles,(ensembles qui peuvent être appelés des 0-catégories) à là catégories des toutes les catégories CAT dont nous avons ici démontré qu’elle s’identifie à l’Idée platonicienne de l’Un-Bien de Platon et qu’elle constitue le monde des Idées-Formes ( alors que Set est l’Idée de l’être , cadre de l’ontologie que j’appelle ici plan vital-ontologique)

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/22/premiere-pierre-pour-une-nouvelle-science-internelle-mathesis-universalis-lidee-de-lun/

Dan Freed plaisante même avec la notion de n-catégorie:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/N-category_number

L’étude des “Higher topoi” est l’application de la théorie des n-catégories au domaine de la théorie des topoi; nous avons rencontré les deux premiers exemples de n-topos avec nos deux plans:

Set est l’exemple paradigmatique de topos (de 1-topos) et d’ailleurs il existe une définition “aisée” et “relax” de topos, comme d’une catégorie se comportant de manière analogue à la catégorie Set ; c’est à dire qu’on peut y définir pour tout objet la notion de “power object”, de même que pour tout ensemble on peut définir l’ensemble de ses parties, et on peut définir l’exponentielle, de même que pour les ensembles on peut définir l’ensemble des fonctions d’un ensemble dans un autre, voir:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Objet_exponentiel

Quant à CAT catégorie de toutes les catégories c’est une 2-catégorie, dont les objets c’est à dire les 0-morphismes sont les catégories, les 1-morphismes sont les foncteurs entre catégories et les 2-morphismes sont les “morphismes de foncteurs” c’est à dire les transformations naturelles reliant deux foncteurs:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/07/transformations-naturelles/

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Transformation_naturelle

https://ncatlab.org/nlab/show/Cat
La catégorie de toutes les catégories est aussi, comme précisé dans la page ci -dessus, l’ exemple paradigmatique de 2-topos:
Voir sur cette notion :
https://ncatlab.org/nlab/show/2-topos

https://ncatlab.org/nlab/show/%28n%2C1%29-topos

Donc : une catégorie supérieure comporte des objets ( 0-morphismes), des 1-morphismesentre les objets, des 2-morphismes entre les 1-morphismes, etc.. Etc,.. des n-morphismes entre les (n-1)-morphismes, mais ce processus peut être limité dans la notion de (n,r)-catégorie:

https://ncatlab.org/nlab/show/%28n%2Cr%29-category

Tout k-morphisme pour k > n ( k strictement supérieur à n) est trivial, c’est à dire est le morphisme-identité Id

Tout k-morphisme pour k> r est inversible, c’est à dire est un isomorphisme.

Convention de notation:
Compte-tenu des précisions précédentes, une (∞, 1)-catégorie sera appelée une ∞-catégorie; une (∞, 0)-catégorie sera un ∞-groupoide; et une (∞,2)-catégorie sera appelée une ∞-bicatégorie.
Voir dans cette page le paragraphe 3 pour le lien avec la théorie de l’homotopie:

https://ncatlab.org/nlab/show/%28n%2Cr%29-category

Et paragraphe 5 pour ce que Baez appelle la “table périodique” des (n,r)-catégories:

https://ncatlab.org/nlab/show/periodic+table

Les pages 3 à 8 du chapitre 1 (“an overview of Higher Category theory “) sont sans doute les plus importantes de tout le livre (je parle de la numérotation du livre, pas de celle du fichier pdf) , en tout cas pour l’objectif visé ici, qui privilégie les idées générales sur les détails techniques : Lurie y définit plusieurs approches possibles de la théorie en citant leurs avantages et leurs défauts.
L’approche la plus directe est de définir simplement une ∞-catégorie comme une catégorie topologique (définition 1.1.1.6) c’est à dire une catégorie enrichie sur une espérés spéciale d’espaces topologiques, les espaces faiblement Hausdorff:

https://ncatlab.org/nlab/show/weakly+Hausdorff+topological+space

Ces catégories topologiques forment une catégorie notée Cattop

“Enrichie” veut dire que la collection des flèches entre deux objets est, non plus un ensemble, comme pour une catégorie ordinaire, mais quelque chose de plus structuré : un espace, qui sera un espace topologique dans le cas des catégories topologiques.

Les espaces faiblement Hausdorff sont retenus parce qu’ils offrent un cadre convenable pour la théorie de l’homotopie, qui , comme Lurie le note dès les premières pages , a de nombreux liens avec la théorie des catégories supérieures:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Homotopie

Comme expliqué au 1.1.2 page 7, des théories plus souples (“more flexible”) font appel à d’autres cadres: “Segal categories”, “complete Segal spaces”, “model categories” (qui méritent d’être étudiées pour elles mêmes, ce qui sera fait ici). Toutes ces notions sont unifiées par André Joyal dans ce qu’il appelle les quasi-catégories, et qu’il identifie, comme Jacob Lurie, selon un coup de force impressionnant , aux (∞,1)-catégories, c’est à dire aux ∞-catégories qui forment le principal thème du livre de Lurie, tout au moins dans leur application à la théorie des topoi:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Quasi-category

Les quasi-catégories s’organisent en une 2-catégorie:

https://arxiv.org/pdf/1306.5144v4.pdf

Page 7 de son livre, Lurie cite un travail de Boardman et Vogt qui peut être pré-visualisé ici:

http://www.springer.com/la/book/9783540064794

Cet article :

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022404902001354

Relie les quasi-catégories aux travaux plus anciens de Boardman et Vogt et aux ensembles simpliciaux (“simplicial sets”)qui sont aussi abordés par Lurie à partir de la page 8 comme cadre pour les “Higher categories”:

quasi-category X is a simplicial set satisfying the restricted Kan conditions of Boardman and Vogt. It has an associated homotopy category . We show that X is a Kan complex iff is a groupoid. The result plays an important role in the theory of quasi-categories (in preparation). Here we make an application to the theory of initial objects in quasi-categories. We briefly discuss the notions of limits and colimits in quasi-categories.

We first recall a few basic concepts of the theory of simplicial sets [5]. The simplicial category Δ has for objects the non-empty ordinals [n]={0,…,n} and for arrows the order preserving maps [m]→[n]. It is standard to denote by di the injection [n−1]→[n] omitting i∈[n] and to denote by si the surjection [n]→[n−1] repeating i∈[n−1]. A simplicial set is a contravariant functor ; it is standard to denote X([n]) by Xn; an element x∈Xn is an n-simplex of X. The fundamental simplex Δ[n] is the representable functor Δ(−,[n]). The category of simplicial sets is the category [Δo,Sets] of functors Δo→Sets and natural transformations. We shall use the Yoneda lemma to identify a simplex x∈Xn with the corresponding map Δ[n]→X in ; in particular, we shall identify a map in Δ with a map Δ[m]→Δ[n] in ; if x∈Xn the simplex X(f)(x)∈Xm will be denoted as the composite . We shall say that a subfunctor A⊆X is a simplicial subset of X.

La théorie des ensembles simpliciaux est née de l’approche combinatoire de la théorie de l’homotopie:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Ensemble_simplicial

Voir aussi le paragraphe 1 (les éléments du langage catégorique) de cette note de séminaire, qui offre une bonne introduction au livre de Lurie:

http://www.math.univ-toulouse.fr/~dcisinsk/1097.pdf

Topologie, ensembles simpliciaux et théorie des catégories sont liés de très près. À tout espace topologique X on associe un ensemble simplicial Sing(X) qui le détermine à une équivalence par homotopie près. À toute catégorie C est de meme associé un ensemble simplicial, son nerf (“nerve”), dont l’ensemble d’index n est l’ensemble de tous les foncteurs de l’ensemble ordonné {0,…n} vers C (un ensemble ordonné peut être vu comme une catégorie avec une seule flèche de x vers y si x<y)

[n]={0,…,n} → C

Une ∞-catégorie est un ensemble simplicial satisfaisant une condition supplémentaire (voir le paragraphe 3 page 7 du séminaire Bourbaki ci dessus, "définition des ∞-catégories")

La page suivante :
https://ncatlab.org/nlab/show/quasi-category

Récapitule toutes les notions précédentes

Et ces deux autres permettent de différencier entre conception géométrique et algébrique de la théorie des ∞-catégories (c'est à dire des quasi-catégories):

https://ncatlab.org/nlab/show/geometric+definition+of+higher+categories

https://ncatlab.org/nlab/show/algebraic+definition+of+higher+categories

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