Les Nombres : entiers, entiers relatifs, rationnels, réels, p-adiques, algébriques

Cet article fait suite à celui d’hier:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/09/26/matti-pitkanen-adn-et-mecanique-quantique-une-nouvelle-cosmologie-du-vivant/

Et contient le survol rapide promis de la construction des différents types de nombres à partir des nombres entiers, soit ce qui est étudié, si je me souviens bien, en Math Sup (ce fut mon cas en 1970 à Louis Le grand, aux cours de l’excellent Mr Deschamps, qui était tout jeune à l’époque) . Par contre les nombres p-adiques j’ai tout appris tout seul sur eux. Qu’on ne compte pas sur des démonstrations détaillées, par contre je vous encourage à revenir sur ce sujet passionnant en lisant un bon traité d’Analyse (voir à la fin, celui de Jordan et de Schwartz), il me semble aussi que j’ai mis celui de Laurent Schwartz dans les liens…et puis il y a évidemment la Bible des mathématiciens, le traité de Bourbaki, qui est accessible intégralement et gratuitement sur le web:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Éléments_de_mathématique

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Nombre_réel (Et lisez sur cette page wiki “dans la vie courante”)
Au delà des pages wiki, bien pratiques certes, il y a ceci où l’on trouve les travaux proprement dits du groupe:

http://sites.mathdoc.fr/archives-bourbaki/feuilleter.php?chap=2_REDAC_E1

Mais il n’y a pas ce qui nous intéresse ici, les nombres..c’est juste le tome 1 théorie des ensembles, qui contient certes des choses très intéressantes pour ce blog, “le formalisme de Godel” notamment
Essayons alors de feuilleter les archives:

http://sites.mathdoc.fr/archives-bourbaki/feuilleter.php

Le “traité d’analyse” contient surtout des compte rendus de réunions , passionnants pour observer l’esprit à l’œuvre dans la création des idées…

De toutes façons il me semble que j’ai déjà signalé que Bourbaki avait manqué l’occasion de prendre en marche le train de la “théorie des catégories” après 1945, ce qui a amené Grothendieck à démissionner du groupe Bourbaki.
Ici c’est la théorie des catégories qui est choisie et associée au plan spirituel parce qu’elle met en oeuvre l’idéalité des relations de la science selon Brunschvicg et parce qu’elle est le cadre des universaux concrets, alors que la théorie des ensembles est associée au plan ontologique:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/03/15/les-deux-theories-mathematiques-privilegiees-par-badiou-topoi-et-ensembles-correspondant-aux-deux-plans-vital-ontologique-et-spirituel/

Donc nous partons des nombres entiers : 0, 1,2,3,4…etc…

On connaît la citation de Kronecker : “Dieu a créé les nombres entiers, l’homme a fait le reste”

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Leopold_Kronecker

Mais les nombres, comme toutes les Idées, sont créées par l’homme, et d’ailleurs le même, qui s’opposait à Cantor, s’est vu rétorquer par Hilbert :” personne ne nous chassera du paradis que Cantor a créé pour nous”. Il n’y a jamais eu d’ambiguïté ici à ce sujet : les Idées sont des créations humaines, notamment celles qui sont de nature mathématique comme les nombres, et surtout la première d’entre elles :l’Idée de Dieu. Toute Idée peut déchoir du plan spirituel au plan vital-ontologique, et c’est ce qui est arrivé à l’Idée de Dieu, et cela peut arriver à toute Idée, celles de nombres notamment. La chute de l’Idée de Dieu , qui explique en grande partie les malheurs de l’humanité (comme l’a dit récemment Salman Rushdie faisant la promotion de son dernier livre:

http://www.atlantico.fr/decryptage/deux-ans-huit-mois-et-vingt-huit-nuits-salman-rushdie-livres-plus-importants-annee-jean-pierre-tirouflet-culture-tops-actes-sud-2831237.html

Je l’ai entendu déclarer que “cette idée d’un Dieu unique nous a apporté finalement plus de mal que de bien”, mais ce dont il parle là c’est de la déchéance de l’Idée de Dieu au rang d’un “étant”, et aussi de la chute de l’Idée du nombre 1 au rang d’un ensemble particulier. Que dit en effet le monothéisme envisagé de manière vulgaire? Celui de la shahadah de l’islam notamment “la ilah illa’ llah ” ce qui signifie “point de divinités en dehors de Dieu-Allah” ce qui veut dire aussi “mon Dieu est le seul vrai, et tu dois t’y convertir sinon je te tue”. Cela peut se dire aussi “l’ensemble des dieux n’a qu’un seul élément : Allah”

Et c’est au nom de telles fadaises que 270 millions de personnes ont été tuées par les conquérants musulmans voir la conférence de Bill Warner:

Mais je me sens obligé de mettre aussi le lien vers cette excellente vidéo de TV Liberté sur l’extermination des Indiens d’Amérique par les colons chrétiens venus d’Europe:

Regardez ce qui est dit à la fin: ils leur ont volé leur pays, mais ils leur envoyaient encore des missionnaires dans les réserves pour les convertir au christianisme, bref il s’agissait d’une entreprise d’anéantissement qui aurait rendu Hitler et Mahomet jaloux…

Oui nous avons là la chute de l’Idée du nombre 1 au rang d’un ensemble particulier réduit à un seul élément : celui des dieux.

Que sont en effet les nombres entiers? Des classes d’équivalence , s’ils sont compris comme cardinaux:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Nombre_cardinal

Le nombre 5 est laclasse d’équivalence de tous les ensembles ayant 5 éléments , qui sont tous en bijection les uns avec les autres (ou isomorphes au sens de la théorie des catégories)
On voit tout de suite qu’il y a comme un défaut : pour savoir qu’ils ont tous 5elements, il faut déjà avoir l’idée du nombre 5! En fait on sait déjà ce qu’est une bijection , ou correspondance bi-univoque entre deux ensembles, (même le Cyclope dans l’Odyssée savait cela, c’est pourquoi il eut l’idée de compter ses bêtes qu’an elles sortaient de l’enclos, mais à malin malin et demi :Ulysse dit à ses compagnons de se placer sous les bêtes, ainsi purent ils sortir au milieu de troupeau) , rien ne nous empêche donc de définir de proche les entiers et de nommer 1 1a classe d’équivalence de tous les ensembles à un seul élément, puis en rajoutant un autre élément nous obtenons le successeur de 1 qui est 2 , 1 étant le successeur de zéro ou ensemble vide, ce procédé est formalisé dans le système exiomatique de Peano :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano

Nous obtenons aussi ainsi les rudiments des opérations sur les entiers : addition et multiplication ainsi qu’exponentiation, nous les définissons de proche en proche en commencant par en bas et en nous servant de la propriété d’associativité et de commutativité qui doivent appartenir à ces opérations , de par un décret divin des mathématiciens:
a + (b+c)= (a+b) + c et a + b = b+a

Il y a une troisième caractéristique des entiers, c’est qu’ils sont bien ordonnés, étant donnés deux entiers à et b l’un est forcément supérieur à l’autre: a> b

Ceci fait référence à la nature ordinale des nombres :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Nombre_ordinal

Ainsi 5> 3 parce que de tout ensemble de 5 éléments on peut tirer un sous-ensemble de 3 éléments.Le génie de Cantor a consisté à transporter ces termes et propriétés aux cardinaux et ordinaux infinis c’est à dire supérieurs à tout entier n et :
“Les ordinaux finis peuvent en fait être identifiés aux entiers naturels qui s’identifient eux-mêmes aux cardinaux finis, mais, dans le cas des ensembles infinis, ce n’est plus vrai : tous les cardinaux sont encore identifiables à des ordinaux, mais la réciproque est fausse.”

Tout ce flux d’idées aboutit à la conception moderne de N, ensemble des entiers naturels, qui est muni d’une structure de monoïde pour chacune des opérations : addition et multiplication.

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Monoïde

L’élément neutre pour l’addition est 0 car pour tout entier n:

n +0= 0+n= n

Et l’élément neutre pour la multiplication est 1.

N possède aussi une structure d’ensemble complètement ordonné, c’est à dire que pour tout couple de nombres n et m l’un est supérieur à l’autre: n > m
N peut être vu comme une catégorie de plusieurs façons :
-comme tout ensemble ordonné: les objets sont les nombres entiers et il y a une flèche de m à n si n > m

-comme tout monoïde : il y a un seul objet,l’élément neutre, qui est identifié à la catégorie, par exemple 0 si l’on prend le monoïde de l’addition , et les autres nombres sont vus comme des flèches allant de 0 vers 0: la composition de deux flèches correspond à l’addition des deux nombres en lesquels consistent ces flèches
Attention ne pas confondre avec la catégorie des monoïdes qui existe aussi : les objets sont les monoïdes et les flèches sont les fonctions (applications) fqui conservent la structure de monoïdes, c’est à dire envoient l’élément neutre sur l’élément neutre et le composé de deux éléments sur le composé des correspondants des deux éléments :

f (m + n) = f(m) + f(n)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_catégories

La théorie des catégories est un véritable miracle de l’intelligence :on trouve partout des catégories!

Voir le livre de Spivak : “Category theory for scientists”:

http://math.mit.edu/~dspivak/CT4S.pdf

Tout ce que je viens de dire, et qui m’a rappelé cette année 1970, et ce qui suit (construction de l’anneau Z) est expliqué ici, de manière plus rigoureuse (mathématique):

https://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/arithmetique/EntiersCAPES.pdf

-N peut aussi être vu comme une catégorie squelettique (skeletal category) : comme le squelette de la catégorie FinSet des ensembles finis. Le squelette d’une catégorie est obtenu en identifiant tous les objets isomorphes entre eux , qui forment une classe d’équivalence, à un seul d’entre eux, représentant la classe d’équivalence.

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Relation_d%27équivalence

Que voudrait dire pour n nombre entier cette chute, cette déchéance du plan spirituel au plan vital-ontologique? Cela voudrait dire qu’il est identifié à l’un de ces ensembles finis “dans le monde” dont il est la classe d’équivalence. Par exemple 5 serait identifié à “ces cinq oranges dans le plat sur la table”. C’est ce qui est arrivé à 1 avec le monothéisme , 1 est devenu l’ensemble des dieux réduit à un seul élément : Dieu .
Mais l’on peut parfaitement etre polythéiste et “païen” et se situer dans l’indépassable spiritualité de l’Un : exemple les néoplatoniciens.

Sur la doctrine spirituelle des Nombres voir ” De l’unité” d’Etchegoyen :

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2012/11/14/martin-etchegoyen-de-lunite/

Et “Les harmonies de l’Etre” de l’Abbé Lacuria:
Tome 1:

http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5565030j

Tome 2:

http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5565660r

Nous avons donc N , les entiers naturels. Mais pour résoudre des équations il nous faut des entiers négatifs. Apres N vient donc Z qui a une structure d’anneau :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Anneau_(mathématiques)

http://math.univ-lyon1.fr/capes/IMG/pdf/new.z.pdf

http://homeomath2.imingo.net/z1.htm

On forme des couples d’entiers naturels , de forme (a, b) ( en gros le couple aboutira à l’entier relatif a – b et pourra être négatif si b>a . On place une relation d’équivalence sur ces couples qui sera la suivante:

(a,b) ≃ (c,d) (le signe ≃ veut dire équivalent à ) ssi (si et seulement si):

a + d = c+ b ( ce qui est une relation parfaitement vérifiable entre entiers naturels)
On vérifie facilement que c’est une relation d’équivalence (réflexive, symétrique et transitive)

En fait (a,b) désigne a -b donc la relation est facile à trouver on veut que

a – b = c -d d’où a + d = c + b

Un entier relatif sera défini comme une classe d’équivalence pour cette relation d’équivalence . C’est un procédé général qui sera aussi utilisé pour la construction des nombres rationnels et réels, mais avec d’autres relations d’équivalence.

On définira facilement une addition et une multiplication sur ces couples et sur les classes d’équivalence, voir les détails ici (ou sur les liens donnés ci dessus)
On définira aussi facilement une relation d’ordre sur ces couples , voir aussi:

http://vekemans.free.fr/O1/O1_constr_Z.pdf

Au total on aboutira à l’anneau Z intègre (pas de diviseurs de zéro)et bien ordonné avec les deux opérations addition et multiplication Z sera un groupe pour l’addition, ce qui veut dire que tout élément aura un inverse : l’inverse de la classe de (a,b) sera la classe de (b,a) :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Groupe_(mathématiques)

Par contre Z n’est pas un corps, car il n’est pas un groupe pour la multiplication:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Corps_(mathématiques)

C’est le corps des fractions Q des nombres rationnels qui sera un corps

N est inclus dans Z un entier naturel n peut être identifié à la classe de (n, 0) qui est un élément de Z

La construction de Q à partir de Z est expliquée ici :

http://www.capes-de-maths.com/lecons/lecon15.pdf

C’est toujours le même procédé : on définit L’ensemble des couples (p,q) où p et Q appartiennent à Z , ce couple sera la fraction p/q , et on définit sur ces couples une relation d’équivalence , pas difficile à trouver puisqu’on veut que deux couples soient équivalents s’ils représentent la même fraction c’est à dire :
p/q= r/s d’où l’on tire ps = rq

Ce sera la définition de la relation d’équivalence entre (p,q) et (r,s) et Q sera l’ensemble des classes d’équivalence pour cette relation. Là encore on définit facilement une addition et une multiplication dont on vérifie qu’elle généralisé celles sur Z et N et que tout élément de Q, classe de (p, q) possède un inverse pour la multiplication, qui est la classe de (q,p) .
Un entier n est identifié au rationnel qui est la classe de (n,1)
Voir cet autre lien, plus général, qui colique qu’il n’y a de sens à construire le corps des fractions que pour un anneau integre (sans diviseurs de zéro) or c’est bien le cas de Z:

http://math.univ-lyon1.fr/capes/IMG/pdf/new.q.pdf

Voir page 7 pour comprendre que cette construction du corps des fractions fonctionne aussi pour d’autres anneaux que Z , les anneaux de polynômes notamment.

L’apparition des structures (groupe, anneau, corps) à l’époque de Galois correspond à une abstraction généralisatrice , l’étape suivante de ce processus d’abstraction se situe en 1945 avec l’apparition des catégories.
Après avoir construit Q, on peut construire le corps des réels R qui sera la “complétion” de Q , selon deux méthodes , voir :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Construction_des_nombres_réels

Page qui donne le lien vers ce petit bijou :

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/jordan/gispert.pdf

Sur “Camille Jordan et les fondements de l’analyse” qui étudie les cours de Jordan à Polytechnique vers la fin du 19eme siècle, près d’un siècle avant Laurent Schwartz, dont voici le cours:

http://lipn.univ-paris13.fr/~duchamp/Books&more/Schwartz/%5BLaurent_Schwartz%5D_Cours_d’analyse__Vol._1(BookFi.org).pdf

Voir sur cette époque :

http://www.sabix.org/bulletin/b39/guichardet.html

http://images.math.cnrs.fr/Laurent-Schwartz-1915-2002.html

La méthode des coupures de Dedekind est très belle, elle est expliquée ici :

http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/logique/RviaDedekind.pdf

, mais je préfère la méthode des suites de Cauchy’ qui m’a été enseignée par Deschamps en 1970, pour construire les réels, car elle sera appliquée pour construire les corps de Nombres p-adiques :

Qp

Mais avec une norme différente de celle utilisée pour construire R, qui est la valeur absolue classique. Cette différence expliquera les propriétés étonnantes des corps de Nombres p-adiques, dont la physique est si friande : la propriété “non archimédienne” notamment
Dans l’espace classique , archimédien , si un point est très loin, vous pouvez toujours l’atteindre en enchaînant un grand nombre de petits pas ; ceci n’est plus valable avec une norme (et une distance) non archimédienne, appelée aussi “ultramétrique”:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Norme_ultramétrique

D’où certaines “joyeusetés” : tout point d’une boule est son centre, tout triangle est isocèle. Les allumés de science fiction ou de “l’occulte et du mystère” devraient s’en préoccuper, ils l’ont d’ailleurs déjà fait.
Donc nous sommes arrivés à Q, corps totalement ordonné qui contient Z qui contient lui meme N dont nous sommes partis. Mais Q n’est pas complet, c’est à dire qu’une suite de Cauchy de nombres rationnels ne converge pas forcément vers un rationnel (en fait elle convergera vers un nombre réel, car R est le complété de Q ou sa complétion , pour la convergence selon la norme classique de la valeur absolue)

Il existe des Nombres irrationnels, par exemple √2, voir la démonstration de ce fait qui avait scandalisé les Grecs au paragraphe 1.1.1 de ce lien:

http://tsmaths.free.fr/Prepa/LesNombres/Lesnombresreels.pdf

Il y a aussi des Nombres transcendants, qui ne sont pas solutions d’une équation algébrique (polynomiale):

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Nombre_transcendant

Par exemple e et π…

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/E_(nombre)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Pi

Donc Q ne suffit pas.. il doit être élargi à un corps totalement ordonné qui sera R et qui sera complet, c’est à dire que toute suite de Cauchy y convergera; comme il est signalé dans la page wiki :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Construction_des_nombres_réels

On ne dispose pas encore des réels, donc il est hors de question de définir les notions de suite convergente et de suite de Cauchy au moyen de réels comme on le fait dans les espaces métriques (munis d’une distance réelle ) :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Limite_d%27une_suite#Suite_convergente

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Cauchy

On le fera donc au moyen de quantités (ε, valeurs de la norme ou de la distance) appartenant à Q , et positives.
Par contre nous disposons de N, donc nous pouvons défini les suites et les séries : ce sont des ensembles de nombres rationnels indexés par les entiers n de 1à l’infini (Un ) et pour la série correspondant à la suite on prend les sommes de 1 à n.
Une suite de Cauchy est telle que l’on peut borner la valeur absolue de le différence de deux termes quelconques par n’importe quelle valeur ε rationnelle >0 ,aussi petite soit elle pourvu que ces deux termes soient de rang supérieur à un certain K entier, et le suite est convergente vers une limite l si l’on peut ainsi borner la valeur absolue de la différence (u n – l) pour tout n >K il existe des suites de Cauchy qui ne convergent pas dans Q mais on applique toujours le même procédé : on s’intéresse aux suites de rationnels que l’on munit d’une relation d’équivalence qui sera que la différence des termes de deux suites tenus vers zéro qu’an n tend vers l’infini et l’on “quotients” l’ensemble des suites de Cauchy par cette relation, c’est à dire que l’on prend les classes d’équivalence qui seront les réels cherchés , qui seront les limites des suites de Cauchy: le corps Q sera “plongé” dans R en identifiant un rationnel avec la suite consistant en ce nombre répété à l’infini , et de par cette construction même toute suite de Cauchy de rationnels convergera vers le réel ainsi défini comme sa classe d’équivalence .
Les corps p-adiques Q p , pour tous les nombres entiers premiers (c’est à dire divisibles seulement par eux mêmes ou par 1) seront définis par le meme procédé de “complétion, mais en utilisant non plus la valeur absolue classique , mais la valeur absolue p-adique , définie ici :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Nombre_p-adique

C’est pour cette raison que l’on ne peut définir cela que pour les Nombres p premiers : parce que pour défini la valuation p-adique on utilise l’unicité de la décomposition de tout nombre entier en facteurs premiers , qui ne vaut que pour les entiers et pour les facteurs premiers . Z ou N est appelé un ufd (” unique factorisation

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Unique_factorization_domain

Ces ufd sont la même chose que les anneaux factoriels de Bourbaki :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Anneau_factoriel

Attention , le calcul avec les p-adiques est assez subtil, car la valeur absolue p-adique ne doit pas être confondue avec la valuation.

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Nombre_p-adique

Nous avons vu dans un article précédent :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/09/23/selon-quentin-meillassoux-le-poeme-de-mallarme-un-coup-de-des-cacherait-un-code-numerique-secret/

Que trois Nombres premiers : 19′ 37 et 73 sont en quelque sorte les représentants du Coran (pour 19) et de la Bible hébraïque (37 surtout, et 73)

Je ne saurais donc trop recommander aux grands allumés du Coran et de la Torah d’examiner soigneusement les corps p-adiques liés à p= 19, 37 et 73. Cela fera plus sérieux, mais.. c’est du travail !

Nous avions aussi parlé des Nombres algébriques, le contraire des Nombres transcendants:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Nombre_algébrique

Le corps des nombres réels, R, nous laisse encore sur notre faim car il existe des équations qui n’ont pas de solutions réelles, par exemple:

x2 +1=0

Qui a comme solutions i et -i où i est l’unité imaginaire:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Unité_imaginaire

Pour pallier à ces insuffisances, il a fallu construire une extension de R, c’est à dire un corps contenant R ( et Q) comme sous-corps, c’est le corps C des nombres complexes qui est algébriquement clos. C’est à dire que toute équation polynomiale de degré n possède n solutions , certaines pouvant être confondues (d’ordre multiple)

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Corps_algébriquement_clos

Théorème fondamental de l’algèbre: Le corps C est algébriquement clos

L’irruption des structures algébriques dans la théorie des nombres est généralement mal comprise des étudiants (si je me rappelle mon cas personnel) ; mais elle rend l’immense service de relativiser nos “intuitions sur les nombres” nées de notre existence sur le plan vital et de nous persuader que ce n’est pas le cas général , donc de nous orienter vers le plan spirituel en nous mettant à distance des intuitions (instincts) du plan vital. Et l’apparition de la théorie des catégories en 1945 est l’étape suivante dans ce processus de montée vers l’Absolu (vers le plan spirituel). Quelle sera la prochaine?

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