#HigherToposTheory 6: modèles algébriques et géométriques pour les ∞-catégories

Les précédents articles de ce hashtag consacré au livre de Jacob Lurie:

“Higher Topos theory”

sont les suivants:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/27/preface-de-higher-topos-theory-n-champs-n-stacks/

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/09/04/higher-topos-theory-des-n-categories-aux-∞n-categories/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/tag/higher-topos-theory-2/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/03/25/hhighertopostheory-le-livre-de-jacob-lurie-et-son-etude-dans-le-cadre-de-louvert/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/09/04/highertopostheory-ensembles-simpliciaux-et-quasi-categories/

Quant au livre de Jacob Lurie, on peut le trouver en plusieurs endroits du web, en format .pdf, ici par exemple:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

Je rappelle aussi ce que j’ai dit hier sur les motivations d’un tel travail, pour fastidieux qu’il puisse sembler :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/11/27/nouvelle-science-internelle-des-idees-comment-proceder/

Il s’agit de rassembler des matériaux pour élaborer ici ce que j’appelle une “nouvelle science internelle” s’inspirant des projets de Mathesis universalis de Descartes et Leibniz ainsi que de la mathématisation de la physique depuis 4 siècles :une science qui donnerait accès aux Idées, habitants du plan spirituel-internel ou “monde des Idées” de Platon et permettrait de les observer comme le téléscope Hubble permet d’observer les galaxies les plus lointaines et de remonter ainsi dans le passé lointain de l’Univers , aux premiers instants ayant suivi le “Big Bang” (qui à ce que j’en sais n’est certainement pas le premier mot de la création ou de l’énigme de l’univers);puis permettrait ensuite de réaliser des expériences sur les Idées, un peu comme les collisions dans les accélérateurs de particule. L’avantage de mon projet en ces temps de disette est qu’il ne coûte rien à la collectivité, car je ne suis pas fonctionnaire, et ne crains donc rien des mesures répressives de FILLON (qui veut supprimer des infirmières, il est vrai désœuvrées, comme chacun sait, mais dont je n’ai pas remarqué qu’il veuille s’attaquer à la scandaleuse A.M.E., qui donne la possibilité aux migrants illégaux de se faire soigner gratuitement).
Pourquoi la théorie des catégories et des topoi en dimensions supérieures (” higher category theory”, “higher topos theory”)?

Parce que nous avons reconnu ici dès le début que deux formes de fondation des mathématiques existent, associées respectivement aux deux formes de pensée, “pensée selon l’Un” et “pensée selon l’être “, que nous nommons hénologique et ontologique, qui sont duales l’une de l’autre car correspondant aux deux plans en dualité qui constituent le Réel : plan vital-ontologique ou “plan de transcendance” (ou “monde” ou ordre de la chair de Pascal, axe horizontal de La Croix ) et plan spirituel -internel (ou “monde des Idées” , ou “plan d’immanence” , ordre de l’Esprit de Pascal, axe vertical de La Croix) . Par contre nous nions à la suite de Léon Brunschvicg et de toute philosophie idéaliste cohérente, l’ordre de la Grâce Surnaturelle ou de la Charité de Pascal. Le véritable christianisme est selon nous ce que Brunschvicg appelle à la suite de Spinoza le “christianisme des philosophes” qui ne reconnaît comme source de vérité que la Raison et en aucun cas la Tradition: il ne peut y avoir de surnaturel, sinon aucune science universelle ne serait possible or une telle science existe depuis 4siecles, avec les succès que l’on sait. “Dieu” est une Idée, formée par l’esprit humain avec le même caractère de nécessité que les Idées mathématiques, et là encore, sans cette Idée nécessaire de “Dieu” ( que nous devrons analyser et expliciter ici comme les Idées de foncteurs et de catégories) et sans les Idées mathématiques, aucune science universelle n’aurait été possible. Or une telle science existe donc…l’Idée de Dieu et les Idées mathématiques sont justifiées et validées. La Raison est notre seule boussole…

Poussant plus loin nos investigations, la possibilité et la nécessité d’une nouvelle forme étendue au plan des Idées de la Science nous est apparue et nous avons reconnu que le cadre de cette “nouvelle science internelle”, c’est à dire le monde des Idées de Platon, n’est autre que la (méta)catégorie CAT de toutes les catégories, qui correspond en même temps à l’Idée d’Un-Bien “au delà de l’Etre” de Platon, alors que l’Idée d’Etre, cadre de la pensée ontologique, est la catégorie Set des ensembles:

http://alpha.math.uga.edu/~davide/The_Category_of_Categories_as_a_Model_for_the_Platonic_World_of_Forms.pdf

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/22/premiere-pierre-pour-une-nouvelle-science-internelle-mathesis-universalis-lidee-de-lun/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

Or la mathématique est en constante évolution , c’est là sa différence avec les anciennes formes, obscurantistes et dogmatiques, de pensée et de Sagesse:

La Vérité , c’est à dire Dieu, bouge, comme la Terre dans l’espace

Puisque “Dieu” est une Idée, il n’y a rien là d’inacceptable : les idées et les “vérités éternelles”, (ou plutôt “internelles”) , mathématiques, bougent et se transforment avec le progrès des mathématiques, qui est indéniable… c’est ainsi qu’avec la démonstration de Wiles en 1994 (?), ce qui n’était jusque là et depuis 350 ans qu’une conjecture est devenu le GRAND Théorème de Fermat :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Dernier_théorème_de_Fermat

Oui l’éternité change..voire s’use et prend fin comme le dit le merveilleux Théophile Gautier (il est vrai sous “produits”) dans “Le club des haschichins” :

https://fr.m.wikisource.org/wiki/Romans_et_Contes_de_Théophile_Gautier/Le_Club_des_Haschischins

En revenant à moi, je vis la chambre pleine de gens vêtus de noir, qui s’abordaient d’un air triste et se serraient la main avec une cordialité mélancolique, comme des personnes affligées d’une douleur commune.

Ils disaient :

« Le Temps est mort ; désormais il n’y aura plus ni années, ni mois, ni heures ; le Temps est mort, et nous allons à son convoi.

— Il est vrai qu’il était bien vieux, mais je ne m’attendais pas à cet événement ; il se portait à merveille pour son âge, ajouta une des personnes en deuil que je reconnus pour un peintre de mes amis.

— L’éternité était usée, il faut bien faire une fin, reprit un autre.

— Grand Dieu ! m’écriai-je, frappé d’une idée subite, s’il n’y a plus de temps, quand pourra-t-il être onze heures?

Ou encore du même prodigieux Théophile Gautier :

http://poesie.webnet.fr/lesgrandsclassiques/poemes/theophile_gautier/l_art.html

“Tout passe.. l’art robuste seul a l’éternité… les dieux eux mêmes meurent.. mais les vers souverains demeurent”

Les vers.. et les théorèmes souverains.. à la vérité! Mais c’est moi qui ai mauvais Esprit, croyant déceler un jeu de mots sur “vers”?

Or le mouvement intellectuel qui mene actuellement la mathématique, donc la Science, donc Dieu, s’appelle :

catégorification

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Categorification

Les ensembles et tout ce qui est ensembliste cédent la place aux catégories et à ce qui est “category-theoretic ” mais dans le même mouvement les catégories, c’est à dire les 1-catégories (les ensembles étant les 0-catégories) deviennent des 2-catégories, puis des 3-catégories, et ainsi de suite à l’infini comme tout ce qui est de l’ordre de l’Esprit…

Jusqu’aux ∞-catégories donc ..

http://www.ams.org/notices/200808/tx080800949p.pdf

https://en.m.wikipedia.org/wiki/(∞,1)-category

Et jusqu’aux ∞-topoi qui sont le domaine de travail de Jacob Lurie et d’autres..

https://en.m.wikipedia.org/wiki/∞-topos

puisqu’il s’avère que Set est l’exemple paradigmatique d’un topos, c’est à dire d’un 1-topos, et CAT celui d’un 2-topos

Les Idées internelles elles mêmes bougent..voilà pourquoi nous ne pouvons pas en rester à CAT et aux catégories..si la science internelle doit être une science, comme la physique , qui se met de plus en plus aux catégories en dimensions supérieures

Nous avions vu précédemment que les n-catégories peuvent être vues comme des catégories enrichies sur la catégorie des (n-1)-catégories:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/13/jacob-lurie-higher-topos-theory-categories-topologiques-et-ensembles-simpliciaux/

une catégorie A étant dite “enrichie sur une autre catégorie B ” si dans la catégorie A la collection , le “compte-pour-un” des morphismes (ou flèches, ou relations) entre deux objets est non plus un ensemble, c’est à dire un objet de la catégorie Set , mais un objet de la catégorie B.
Rappelons aussi que ce que Lurie appelle ∞-catégories ce sont en fait les (∞,1)-catégories, pour lesquelles TOUS les morphisme d’ordre supérieur ou k-morphismes sont inversibles, c’est à dire des isomorphismes, pour tout k> 1:

https://ncatlab.org/nlab/show/(infinity,1)-category

https://en.m.wikipedia.org/wiki/(∞,1)-category

Comme on le voit dans les deux liens ci dessus, et comme Jacob Lurie l’indique lui même dans son Introduction “Overview of higher category theory”, cela fait immédiatement s’envoler sous nos pas une nuée de nouvelles notions, c’est à dire dans le cadre de la science internelle de nouvelles Idées qui sont ce qu’il appelle des “modèles ” pour les ∞-catégories: catégories topologiques, qui sont les catégories enrichies sur la catégorie des espaces topologiques faiblement Hausdorff:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Weak_Hausdorff_space

Catégories de Segal, catégories simpliciales, espaces de Segal, etc..

Pour mettre un peu d’ordre dans TOUS ce fatras , nous rappelant la double origine, logique (Lawvere) et géométrique -topologique (Grothendieck ) de la théorie des topoi

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/07/30/la-nature-duale-de-la-theorie-des-topoi-geometrique-et-logique/

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/2015/04/08/topoi-de-grothendieck-2-la-double-origine-geometrique-et-logique-de-la-theorie-des-topoi/

nous trouvons deux sortes de définitions des catégories en dimensions supérieures: algébriques et géométriques:

https://ncatlab.org/nlab/show/algebraic+definition+of+higher+categories

https://ncatlab.org/nlab/show/geometric+definition+of+higher+categories

Mais il ne s’agit pas d’étouffer la nouvelle science au berceau, telle Médée la sombre magicienne, dont le nom il est vrai renvoie à “méditer, comprendre, concevoir”:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Médée

Comme cet article est déjà assez lourd comme ça, je le termine ici et reviendrai sur ces nouvelles Idées une par une dans les prochains articles de ces hashtag, pour éviter toute lourdeur si possible…

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