#HigherToposTheory 7 : l’architecture des mathématiques

Ce que je tente de faire ici peut , si toutefois il est possible de le décrire en une terminologie déjà existante, être appelé “philosophie mathématique” plutôt que “philosophie des mathématiques” (une discipline déjà entièrement balisée). Je me réfère évidemment au célèbre ouvrage de Léon Brunschvicg , datant de 1912 :
Les étapes de la philosophie mathématique

http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAN8827

mais on peut aussi citer un livre fascinant paru chez Vrin:

Albert Lautman :les mathématiques, les Idées et le réel physique

qui regroupe tous les travaux d’Albert Lautman d’avant guerre.

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Albert_Lautman.

On peut trouver ce texte sur le web, mais en anglais:

http://www2.warwick.ac.uk/fac/soc/philosophy/people/beistegui/175683193-albert-lautman-simon-duffy-translator-mathematics-ideas-and-the-physical-real-2011.pdf

Voir aussi ce texte extraordinaire sur “le problème du temps” :

http://www.entretemps.asso.fr/Nicolas/Ecoute/Lautman.html

qui date des derniers temps justement (Lautman est mort fusillé par les nazis pour faits de résistance le 1 août 1944, je me dis souvent, puisque j’ai parlé récemment du très beau film de Volker Schlondorff “Diplomatie” que les Nazis ont commis une destruction bien plus préjudiciable pour l’humanité en tuant Lautman que s’ils avaient détruit Paris, comme Hitler l’avait ordonné à Von Choltitz)
Enfin il y a ce travail remarquable de Hourya Sinaceur sur “Le platonisme phénoménologique de Lautman” :

https://halshs.archives-ouvertes.fr/halshs-01122319/file/2010_philosophiques_vol37_n1_p27_Idees.pdf

L’œuvre de Lautman est restée peu connue car peu comprise: elle s’adressait aux philosophes, mais peu étaient à même de comprendre les théories de pointe de mathématiques que Lautman utilisait et qu’il connaissait parfaitement :il avait intégré Normale Sup en 1926 par le concours option “Lettres” mais il était lié d’amitié depuis le Lycée Condorcet avec un autre être d’élite, Jacques Herbrand, qui lui intégra aussi Normale mais par le concours “Sciences”; durant les années dans cette école prestigieuse, leur amitié se poursuivit et Jacques Herbrand fut de BON gré l’instructeur en mathématiques de son ami Lautman:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Jacques_Herbrand

qui, bien que “littéraire” atteint un haut niveau en mathématiques, discipline qui l’intéressait au plus haut point parce qu’il y voyait la réalisation rigoureuse de la Dialectique platonicienne avec ses couples d’opposés de Nature métaphysique :
– discret-continu

-le même et l’Autre

-essence et existence
-un et multiple…

Des préoccupations bien proches de celles de ce blog donc, influencées sans nul doute par l’enseignement “platonicien” de Léon Brunschvicg dont il assistait régulièrement aux “dimanches matin” au domicile privé de celui ci rue Schefferville, séances dont un autre élève de Brunschvicg, Emmanuel Lévinas, était un assidu.

Là encore notons la catastrophe pour l’humanité que fut la disparition dans la fleur de l’âge de ces deux génies liés d’amitié: Herbrand à 23 ans dans un accident de montagne, alors qu’il commençait à correspondre avec Kurt Godel, et Lautman à 36 ans fusillé par les nazis . Une catastrophe venant après la mort d’Evariste Galois tué en duel à 20 ans au 19eme siècle : les grands esprits ont toujours tort d’emprunter aux hommes ordinaires leurs scrupules moraux et leur pseudo-sens de l’honneur .
L’Europe des esprits se faisait dès les années 30 , pas besoin pour cela d’une lourde administration pondant régulièrement des lois inutiles et surtout malfaisantes, mais là encore le “plan vital” , par l’arrivée au pouvoir des Nazis en 1933, puis après guerre par l’émergence d’une Europe seulement économique, réussit à noyer la seule Europe véritable, l’Europe spirituelle, philosophique, qui est de par son Essence profonde : idéaliste et platonicienne.

On se plaint actuellement de ce que les jeunes français deviennent nuls en mathématiques, mais fait on les efforts nécessaires pour leur faire aimer cette discipline? Bien entendu ils n’ont pas la maturité suffisante pour comprendre les thèses de Lautman, mais si on leur suggérait simplement et adroitement que loin d’être seulement une technique donnant accès aux postes d’ingénieurs à leurs hauts salaires, la mathématique est le champ pratique de réalisation du monde des Idées et de la dialectique, donc le vrai domaine de la vie religieuse, dont leur famille leur donne une conception complètement fausse, à base d’interdits ridicules et de méfiance envers les autres “religions”, un grand pas aurait été fait vers l’amélioration du niveau scolaire, et la baisse du nombre de “décrocheurs” , ces adolescents qui abandonnent les études sans aucunes connaissances ni diplômes et se retrouvent au chômage, ou bien enrôlés dans une “bande” au service des “dealers”.

Jacob Lurie, dont nous étudions ici le livre “Higher topos theory”, n’est pas le seul à travailler dans ce domaine actuellement de pointe qu’est la théorie des catégories en dimensions supérieures, un domaine qui aurait à coup sûr attiré Herbrand et Lautman. Voici un texte d’Eugenia Cheng qui lui aussi donne une idée de la Nature des mathématiques fort éloignées des conceptions conformistes si répandues et, disons le, si nocives:

http://cheng.staff.shef.ac.uk/misc/4000.pdf

La théorie des catégories y est vue comme “la mathématique des mathématiques”, c’est à dire l’étude et la formalisation de la manière dont la mathématique “fonctionne”, Eugenia Cheng va jusqu’à dire qu’il s’agit de l’essence des mathématiques, qu’elle place au rang de l’art et de la poésie, et demande à ses lecteurs d’oublier les dures souffrances endurées dans leur enfance dans des calculs interminables ou à mémoriser des formulestoutes faites et semblant incompréhensibles:pas plus que l’étude pointilleuse de la grammaire n’est nécessaire pour apprécier et aimer la poésie, suer sang et eau sur des calculs très lourds n’est nécessaire pour aimer la mathématique (enfin… un peu quand même, de même qu’en latin pour apprécier la beauté de Virgile il faut bien avoir peiné sur les déclinaisons).
Eugenia Cheng cité une formule de Hardy, le théoricien des Nombres:

“Un mathématicien est , comme un poète ou un peintre, un créateur de Formes”.
Mais, si l’on se souvient du fait que la théorie des Formes n’est autre que la théorie des Idées de Platon (en grec c’est le même mot):

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_Formes

Nous concluons que le mathématicien est un créateur d’Idées, et cela nous permet d’aller un peu au delà de la définition proposée par Eugenia Cheng , qui est que “la mathématique est l’étude rigoureuse des systèmes conceptuels”. Brunschvicg se méfie du concept et de la logique en général (mais peut être Herbrand aurait il pu les réconcilier avec celle ci et la forme entièrement mathématique qu’elle a prise), nous pouvons comprendre les raisons profondes de cette méfiance qui s’adresse à ce qui en reste au niveau du langage, des mots, et reste donc dominé par l’instinct, le “plan vital”, nous pouvons comprendre cette attitude spirituelle si nous lisons certains passages du livre de Marie Anne Cochet “Commentaire sur la conversion spirituelle dans la philosophie de Léon Brunschvicg”, livre que nous étudions par ailleurs sous le hashtag :

#CochetBrunschvicg

À la source de la création de ces Formes se trouve l’Acte spirituel Infini car situé dans le Présent éternel : “ c’est l’Esprit seul qui confère l’être en unifiant le divers informé dans l’espace et le Temps… le poussin ne se heurte à la coquille de l’œuf qu’après avoir grandi à son abri; l’hypothèse scientifique ne rencontre ses contradictions qu’après avoir épuisé sa fécondité.. ce qui protège finit par opprimer…l’instinct est attaché à la forme, et chez l’animal l’intelligence obéit à l’instinct pour conserver les formes.. mais TOUS les grands actes humains abandonnent et sacrifient les formes à l’Esprit

Je trouve en les lignes ci dessus le sens véritable du mythe sacrificiel d’Abraham, mais sous des Formes profondément obscurantistes qui doivent elles aussi être abandonnées et sacrifiées car ce mythe incompris par les masses “religieuses” imbéciles, qui ne se soucient pas de l’Esprit, mais uniquement du plan vital, est à l’origine des dérives sanguinaires de cette secte nazie et démoniaque qu’est l’Islam, selon lequel Ibrahim est le premier musulman parce qu’il était totalement soumis à Allah, au point de lui sacrifier son fils bien -aimé. J’ai parlé de ce mythe à propos du film “Diplomatie” de Volker Schlondorff, où le consul de Suède Nordling compare Choltitz qui se prépare à détruire Paris sur l’ordre d’Hitler à Abraham , mais ce qui est infâme chez Abraham -Ibrahim le musulman, ce n’est pas le sacrifice, symbole du sacrifice des Formes à l’Esprit, mais l’obéissance absolue à “Dieu ” un dieu idolâtre et nazi. Or le seul commandement valable, celui posé par l’exigence de la liberté, est de n’obéir qu’ à la Raison et à l’Intelligence, et si Allah ou Hitler était intelligent, ça se saurait!
Plus loin chapitre II, dans des pages 58 et suivantes que nous avons déjà méditées

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/10/25/cochetbrunschvicg-8-la-vie-de-la-pensee-cest-la-conversion-incessante-vers-lunite-de-lesprit/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/09/21/cochetbrunschvicg-3-les-deux-aspects-de-limmanence/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/09/13/cochetbrunschvicg-objet-et-objectivite-raison-et-rationalite/

Mme Cochet parle du chemin du retour du concept vers la conception (mot qui nomme aussi , sur le plan vital, l’acte de concevoir des enfants) et va jusqu’à identifier page 65 l’universel concret à l’esprit . Or nous avons déjà rencontré grâce aux travaux de David Ellerman les universaux concrets qui sont les universaux trouvés par la théorie des catégories, qui sont des “propriétés universelles” , rencontrées dans l’existence d’un morphisme unique faisant commuter un diagrammequ’il oppose aux universaux abstraits qui sont des ensembles:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/18/david-ellerman-concrete-universals-in-category-theory/

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/10/11/david-ellerman-theorie-des-ensembles-et-universaux-abstraits/

Selon Mme Cochet :

dans le retour explicite, de conditions en conditions vers l’affirmation intellectuelle du “Cela est” unitif et indivisible, le choc devient l’universel concret : l’esprit.
le concret est ainsi conçu comme l’acte affirmatif de l’esprit, implicite d’abord lorsqu’il est subi par la périphérie des sens, explicite ensuite lorsqu’il est réfléchi vers sa source; et le concept n’est plus que l’abstraction momentanée qui fixe un instant la réflexion sur ce qui est à connaître

Ainsi la théorie des catégories, complexifiée aux dimensions supérieures dans les travaux de héros spirituels tels Eugenia Cheng ou Jacob Lurie, ou d’autres qui ne visent ni la gloire ni l’argent, est bien la mathématique du plan spirituel hénologique, mathématique de la réflexion, du chemin du retour vers l’Un , de la conversion dualité du chemin de la procession vers l’être et le multiple des étants, c’en est nouvelle confirmation pour ce blog. Nous ne perdons pas notre Temps ni notre énergie en étudiant le livre de Jacob Lurie, et contrairement aux apparences nous avons sans doute plus avancé aujourd’hui dans cette étude, parce que nous en avons trouvé le sens, et nous l’avons ainsi orientée.
Je finirai en donnant juste un autre lien , celui de l’article d’Elaine Landry qui est philosophe (de la) mathématique:

http://www.math.mcgill.ca/rags/seminar/Landry.html

qui voit la théorie des catégories comme “langage des mathématiques” après avoir distingué trois positions des philosophes des mathématiques sur ce sujet du statut de la théorie des catégories, née en 1945 et que ne connaissaient donc (et c’est bien dommage) ni Herbrand ni Lautman, ni Cavaillès ni Brunschvicg:

-Lawvere qui voit la théorie des catégories comme fondation des mathématiques
– Mayberry selon lequel c’est la théorie des ensembles qui assure ce rôle de fondation

– Mac Lane qui attribue à la théorie des catégories un rôle d’organisation , d’architecte :une position bien proche de celle d’Eugenia Cheng (la théorie des catégories est la mathématique de la mathématique ) et de celle d’Elaine Landry (c’est le langage de la mathématique).
Mais je persiste à penser que le platonisme de Lautman , qui écrivait dans les années 30 comme Marie Anne Cochet, allait plus loin que ces positions modernes en attribuant à la mathématique la réalisation intellectuelle rigoureuse de la dialectique de Platon. Et pourtant il ne connaissait pas la théorie des catégories. Allez! Nous sommes bien “des nains juchés sur les épaules de géants”!!

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Jean_Cavaillès

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