#HigherToposTheory 8 : définitions équivalentes pour les (∞,1)-catégories

La difficulté principale pour suivre cette recherche (très fastidieuse et complexe, admettons le) sur les catégories et topoi en dimensions supérieures (“higher category theory) est en quelque sorte analogue aux difficultés de pilotage en zone montagneuse (que connaissent aussi les amateurs de “vol libre” en deltaplane voire de parachute ascensionnel). Il s’agit de concilier deux conceptions du savoir , expliquées ici:

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/mathesis-universalis-et-totalite/

et évidemment liées aux deux plans, ontologique et hénologique : conception encyclopédique du savoir et conception unitive. Pour un pilote ou un “basejumper” en montagne, pourvu d’une combinaison en forme d’aile, lui permettant de voler comme un oiseau en se jetant de très haut, il s’agit de ne pas descendre trop bas “au ras des pâquerettes” , mais de ne pas rester trop haut par souci de garder “le coup d’œil de l’aigle” qui permet de voir tout “en simultanéité”. Il y a bien une orientation entre un haut et un bas dans le monde des idées : plus haut veut dire plus d’unification, plus d’intelligibilité . En plus d’un axe vertical entre le bas et le haut (plus d’unification, d’intelligibilité) nous pouvons ajouter un plan horizontal caractérisant la plus ou moins grande extension du domaine de connaissances unifiées ( le nombre de savoirs regroupés -en-un est l’extension horizontale et c’est en la profondeur d’intelligibilité gagnée sur eux que consiste l’élévation verticale :extension quantitative de la connaissance = horizontale et profondeur qualitative de la compréhension = verticale)

dans le livre de Jacob Lurie nous en sommes  au paragraphe 1.1.3 page 15 “equivalences of topological categories “. Lurie rappelle qu’il a privilégié deux approches pour la théorie des catégories en dimensions supérieures : les catégories topologiques et les ensembles simpliciaux (“simplicial sets”):

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/13/jacob-lurie-higher-topos-theory-categories-topologiques-et-ensembles-simpliciaux/

ces derniers formant une catégorie sSet qui est un topos puisque c’est une catégorie de préfaisceaux (un ensemble simplicial étant défini comme un foncteur vers Set , c’est à dire un préfaisceau) voir:

https://ncatlab.org/nlab/show/SimpSet

https://ncatlab.org/nlab/show/simplicial+set

 

or il existe un autre article de Julia Bergner, qui est un “survey” sur les (∞,1)-catégories :

https://arxiv.org/pdf/math/0610239v1.pdf

qui elle parle de quatre approches différentes : catégories simpliciales, catégories de Segal, espaces complets de Segal, et quasi-catégories, domaine découvert par André Joyal et qui s’appellent aussi “logoi”.

http://www.math.uchicago.edu/~may/IMA/JOYAL/Joyal.pdf

Julia Bergner utilisé le terme de “modéles” pour la théorie des (∞, 1)-catégories qu’elle appelle ∞-catégories faibles (Lurie prévient qu’il parle surtout de celles là dans son livre, sauf s’il it explicitement le contraire).Or il existe deux sortes de modèles, algébriques et géométriques :

https://ncatlab.org/nlab/show/algebraic+definition+of+higher+categories

https://ncatlab.org/nlab/show/geometric+definition+of+higher+categories

et les logoi appartiennent à la seconde sorte:

https://ncatlab.org/nlab/show/quasi-category

Une quasi-catégories est, selon le dernier lien , un complexe de Kan faible, “weak Kan complex”. Les idées utilisées par Jacob Lurie aussi bien que par Julia Bergner sont en provenance de la théorie de l’homotopie, c’est à dire de l’étude des déformations continues de courbes dans des espaces topologiques

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Homotopie

Il existe sur ce sujet (en lien de ce blog et en bibliothèque d’un autre) un livre excellent , aussi bien du point de vue catégorique que de celui de l’homotopie et de la topologie algébrique, de Hans Joachim Baues:

“Combinatorial foundation of homology and homotopy”

https://ledocteurfaustus.files.wordpress.com/2015/12/baues-combinatrorialfoundation.pdf

Entre les quatre modèles qu’elle introduit Julia Bergner étudie des équivalences qui sont des équivalences de Quillen, dans la théorie de ce qu’on appelle “model categories”, une généralisation de la théorie de l’homotopie:

https://ncatlab.org/nlab/show/Quillen+equivalence

Par contre Lurie va plus au fond des choses, concernant notamment ce que l’on entend signifier par “équivalence” , et donne en 1.1.3.1 une définition de l’équivalence forte entre catégories topologiques, qui se réduit pour les catégories ordinaires à la notion classique d’équivalence.
Une question à se poser est, parmi toutes ces différentes idées qui conduisent à des modèles équivalents de la théorie des catégories en dimensions supérieures: laquelle permet de s’élever le plus haut (au sens donné précédemment dans l’article ): à mon sens ce sont les logoi (quasi-catégories) de Joyal

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