#ScienceInternelle 7 : la table périodique des n-catégories

Analogue de la table périodique es éléments de Mendeleev en chimie, cette table apparaît dans le papier de Baez et Schulman :
“Lectures on n-categories and cohomology”

https://ncatlab.org/nlab/show/Lectures+on+n-Categories+and+Cohomology

http://math.ucr.edu/home/baez/cohomology.pdf

qui est aussi le chapitre de début du livre “Towards higher categories”

https://ncatlab.org/johnbaez/show/Towards+Higher+Categories

La table apparaît Page 10 du cours de Baez pris en notes par Schulman , et, sous sa forme étendue aux n= -1 et -2 , Page 11 (“extended periodic table”)

Sur les (-1)-catégories et (-2)-catégories , voir la discussion sur ce cours, ici:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2006/08/lectures_on_ncategories_and_co.html

La table est aussi dans le Nlab :

https://ncatlab.org/nlab/show/periodic+table

Il s’agit donc d’un tableau à double entrée, d’une matrice infinie si l’on veut, n variant de n=-2 à l’infini, et k variant de 0 à l’infini

img_1549

La colonne n=0 correspond aux 0-catégories qui sont les ensembles . Et celle pour n=1 aux catégories, c’est à dire les 1-catégories. L’augmentation de k de 0 jusqu’à 1, ou 2, ou 3 correspond à l’introduction progressive de structure :
Ainsi dans la colonne n=0 la case k=0 correspond aux ensembles (aucune structure, pure multiplicité), la case k=1 aux monoides, qui sont des ensembles où l’on introduit une opération associative * et pour vue d’un élément neutre 1:

Pour tous éléments à, b, c du monoide :

a * b = k et a* (b*c) = (a*b)* c et pour tout élément a :

a*1=1*a = a

Passer à k=2 introduit une contrainte supplémentaire, celle de la commutativité de l’opération (abélien = commutatif) c’est à dire que pour tous éléments a,b:

a *b = b*a

Dans la colonne n=1 , pour k=1, les monoides deviennent des catégories Monoidales, munies d’un produit tensoriel associatif entre objets avec un élément neutre :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Catégorie_monoïdale

k=2 conduit aux catégories monoidales tressées :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Catégorie_monoïdale_tressée

Le cas général , k quelconque, donne les “k-tuply monoidal n-categories”:

https://ncatlab.org/nlab/show/k-tuply+monoidal+n-category

Où les objets peuvent se multiplier entre eux de k façons différentes, interchangeables à une équivalence de catégories près.

Se déplacer vers la droite du tableau, vers les n de plus en plus grands, revient à introduire de plus en plus de relations (les n-morphismes sont des flèches reliant les (n-1)-morphismes) , donc d’unification: c’est selon moi la forme moderne, catégorique , de ce qu’Albert Lautman appelait “montée vers l’Absolu”. C’est pour cette raison que le cadre de la Science internelle doit être celui des ∞-catégories, qui sont les quasicatégories de Joyal ou logoi, ou les (∞,1)-catégories de Jacob Lurie :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/(∞,1)-category

https://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29-category

Leur collection forme une (∞,2)-catégorie, qui peut s’envisager comme une (∞,1)-catégorie:

https://ncatlab.org/nlab/show/(infinity,1)-category+of+(infinity,1)-categories

qui est notée :

(∞, 1)Cat

voir:

https://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29Cat

qui est , comme CAT, un exemple de ce qu’Emily Riehl et Dominic Verity appellent :

un ∞-cosmos

c’est à dire en somme un cadre pour la théorie des ∞-catégories.

Ces ∞-cosmoi sont le candidat le plus sérieux pour servir de cadre à la Science Internelle, pour être les mathèmes du monde des Idées de Platon, une ∞-catégorie étant une Idée dans cette version infinitisée , catégorifiée à l’infini, de la Science internelle, ou les ∞-catégories remplacent les catégories.

Cela n’est pas contradictoire avec ce que nous avions dit jusqu’ici, que CAT, catégorie des catégories, est le monde des Idées:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

Car CAT est, comme (∞,1)Cat, un exemple d’un ∞-cosmos, et tous les ∞-cosmos peuvent servir de cadre mathématique pour le monde des Idées. Il y a là dedans une profonde cohérence. Nous montons vers l’Absolu, tout simplement, en passant des catégories aux ∞-catégories.

Pour en revenir à la table périodique , et surtout aux colonnes n=-1 et n=-2, j’observe que l’article de Baez et Schulman parle , Page 10, du “Power of négative thinking” , il y a même une Page du Nlab consacrée à cette “pensée négative”:

https://ncatlab.org/nlab/show/negative+thinking

qui consiste, en somme, à “catégorifier à l’envers”ou , comme il est dit dans le texte, à “généraliser à rebours” (“generalizing backwards”) comme on passe des 0-catégories aux 1-catégories et 2-catégories, on peut passer aux (-1)-catégories, qui sont les valeurs de vérité (0 ou 1) , c’est à dire le nombre 2 du Verbe et de la distinction et de la Forme chez Lacuria (voir son chapitre II):

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/01/14/scienceinternelle-6-les-harmonies-de-letre-exprimees-par-les-nombres-de-labbe-lacuria-le-pythagore-francais/

Les (-2)-catégories sont réduites mathématiquement à la catégorie triviale,qui correspond au nombre 1 de l’unité chez Lacuria, qui est aussi l’Infini indivisible :

1=∞

Que Lacuria oppose à l’indéfini (indéfiniment divisible, ce qui donne la suite indéfinie des Nombres ) qui est ce qu’il appelle “non-être”
Nous n’utiliserons pas ici cette terminologie, trop “ontologique” mais pour la Science Internelle les ou la (-2)-catégorie , qui est la catégorie triviale, sera assimilée à l’indéfini, ou “non être ” si l’on veut … puisque les 0-catégories, ou ensembles, sont le plan ontologique ou être . Ainsi la table périodique présente, à notre regard spirituel, ce que les religions appellent “création du monde à partir du Néant” (mais attention, le “non être” ou (-2)-catégorie, n’est pas le Néant ) l’être, la catégorie Set des 0-catégories, sort du “non-être” , la (-2)-catégorie , par l’intermédiaire du Verbe, ou nombre 2, pure Idée ascétique de la distinction et de la Forme, qui est la (-1)-catégorie des deux valeurs de vérité, vrai ou faux, “Est et non” du songe de Descartes la nuit du 10 au 11 novembre 1619 , nuit de la Saint-Martin:

http://singulier.info/rrr/2-rdes1.html

Advertisements
This entry was posted in ∞-catégories, ∞-cosmoi, ∞-topoi, category theory, Higher category theory, Higher topos theory, Ouvert : dualité plan vital-plan spirituel, Philosophie, Philosophie mathématique, Science-internelle and tagged , , , , , , , , , , , , , , , . Bookmark the permalink.