#ScienceInternelle 8 : ∞-cosmoi

Les ∞-cosmoi, dont j’ai commencé à parler dans l’article précédent, le numéro 7 de ce hashtag:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/01/17/scienceinternelle-7-la-table-periodique-des-n-categories/

font leur apparition dans les travaux, portant sur la théorie des ∞-catégories, de deux chercheurs : Emily Riehl et Dominic Verity .

https://ncatlab.org/nlab/show/Emily+Riehl

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Il faut commencer par cet article ci , comme le laisse comprendre son titre :

∞-categories from scratch

qui est ici :

http://www.math.harvard.edu/~eriehl/scratch.pdf

Des le début la différence est faite entre deux approches des ∞-catégories:

-l’approche par définitions schématiques passant par les (∞,1)-catégories , qui peuvent être vues comme des catégories “faiblement enrichies” dans celle des ∞-groupoides, elle même définie schématiquement

https://ncatlab.org/nlab/show/(infinity,1)-category

https://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29Cat

https://ncatlab.org/nlab/show/Infinity-Grpd

– et l’approche par modèles , qui sont des objets mathématiques précis incarnant ce schéma par définitions : Riehl et Verity citent un certain nombre d’exemples, déjà rencontrés dans la lecture du livre de Lurie “Higher topos theory” , comme les quasicatégories (ou “weak Kan complexes”) de Joyal, les catégories de Segal, les espaces complets de Segal…

Quant à nous, nous avons en quelque sorte “louvoyé” entre les deux approches :cela est dû au fait que notre visée est spécifique, nous sommes partis de CAT , la métacatégorie de toutes les catégories, dont nous avons démontré que c’est le cadre mathématique pour le “monde des Idées” de Platon:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

et nous en sommes venus à penser que nous avons à appliquer à ce cadre, qui est maintenant bien balisé grâce aux immenses travaux de mathématiciens comme Lawvere, le mouvement fondamental de catégorification:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Categorification

Qui est dû à Baez:

https://arxiv.org/abs/math/9802029

https://arxiv.org/pdf/1401.6037v2.pdf

et qui consiste à monter vers les n de plus en plus grands, vers l’infini, dans la table périodique des n-catégories vue précédemment :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/01/17/scienceinternelle-7-la-table-periodique-des-n-categories/

forme catégorique de la “montée vers l’Absolu” d’Albert Lautman.

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Nous parlons de mathèmes ou de cadres mathématiques plutôt que de modèles : une
∞-catégorie est pour nous une Idée, et ces Idées “vivent” dans ce que Riehl et Verity appellent des ∞-cosmoi , qui sont donc pour nous des “univers d’Idées” , modèles si l’on veut, ou mathèmes de ce que nous appelons le “plan spirituel-internel” . Mais revenons à “∞-categories from scratch”:
Les auteurs caractérisent leur projet, Page 3, comme devant être indépendant du choix du modèle et invariant par changement de modèle, aussi simple que possible, et compatible avec les théories de Lurie et Joyal. Page 4 ils donnent une liste de cinq travaux ayant précédé celui ci dans ce projet, parmi lesquels le I:

https://arxiv.org/pdf/1306.5144v4.pdf

Et surtout le IV :

http://www.math.harvard.edu/~eriehl/yoneda.pdf

Me semblent les plus importants, le dernier surtout qui considère les ∞-catégories comme les habitants des ∞-cosmoi et donne page 10 en 2.2 des exemples de ceux ci , parmi lesquels :

-la catégorie Cat de toutes les catégories 2.2.4 Page 11

-2.2.5 Page 12: les espaces complets de Segal

-2.2.7 Page 13: les catégories de Segal

et d’autres exemples 2.2.8 à 2.2.10

Ces ∞-cosmos sont définis axiomatiquement page 8 de “∞-categories from scratch” dont il existe une version plus simple, résultant des notes prises par Gabriel Drummond-Cole:

http://cgp.ibs.re.kr/~gabriel/notes/riehl_15.pdf

Et là la définition apparaît en Page 3 définition 03.

Définition

:

Un ∞-cosmos est une catégorie enrichie dans la catégorie des ensembles simpliciaux , et munie d’une classe de morphismes spéciaux appelés “isofibrations”
(Obéissant à des conditions supplémentaires dont on prendra connaissance dans le papier de Riehl et Verity , j’ai la flemme de les recopier ici)

Sur les ensembles simpliciaux et les quasi catégories, voir:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/09/04/highertopostheory-ensembles-simpliciaux-et-quasi-categories/

un ∞-cosmos a donc des objets qui seront appelés ∞-catégories (pour l’instant on les définit purement comme les objets d’un ∞-cosmos, ce genre de procédé est purement axiomatique, mais pour nous ce seront les Idées) et entre deux objets des flèches dont la collection forme une quasicatégorie au sens de Joyal et Lurie (c’est à dire une sorte d’ensemble simplicial ) .
Tout ∞-cosmos a donc une catégorie sous jacente (underlying 1-category of the ∞-cosmos) et même une 2-catégorie appelée “homotopy 2-category” voir définition 04 Page 4 de ces notes de cours de Gabriel Drummond-Cole.

Le cours complet de Riehl et Verity :

http://www.math.harvard.edu/~eriehl/scratch.pdf

s’attarde plus sur la définition des ∞-cosmoi en 1.2 pages 7-8 :en fait Riehl et Verity ne se contentent pas de livrer de manière brute l’axiomatique des ∞-cosmoi, mais expliquent l’origine de cette axiomatisation qui se situe dans la théorie dû être à Quillen des catégories de modèles (“model categories”) qui sont elles mêmes des modèles pour la théorie de l’homotopie , notion venant de la topologie:

https://ncatlab.org/nlab/show/model+category

Ce qu’il faut saisir, c’est , pour résumer le paragraphe 1.1 de “∞-categories from scratch” , paragraphe titré “formal category theory in a 2-category” , le parallélisme frappant entre le développement de la théorie des catégories et celui de la théorie des ∞-catégories.

De la même manière que les catégories peuvent s’organiser en une 2-catégorie ayant les catégories comme objets, les foncteurs comme morphismes et les transformations naturelles entre foncteurs comme 2-morphismes:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/07/transformations-naturelles/

de même les ∞-catégories , les ∞-foncteurs et les ∞-transformations naturelles s’organisent en une 2-catégorie que Riehl et Verity appellent “homotopy 2-category”.
Le papier le plus important de Riehl et Verity est celui-ci :

Fibrations and Yoneda’s lemma in an ∞-cosmos

http://www.math.harvard.edu/~eriehl/yoneda.pdf

Qui présente page 6 en 2.1.1 la définition complète d’un ∞-cosmos comme catégorie enrichie sur celle sSet des ensembles simpliciaux, voir aussi :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/09/04/highertopostheory-ensembles-simpliciaux-et-quasi-categories/

C’est à dire que les collections de flèches entre deux objets , par définition d’une catégorie enrichie:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Catégorie_enrichie

sont des ensembles simpliciaux et même des quasicatégories, qui sont une sorte particulière d’ensembles simpliciaux, ceux satisfaisant la “condition faible de Kan” (“weak Kan condition”).

Les deux exemples prototypiques de ces ∞-cosmos sont au nombre de deux, les principaux, à retenir plus que les autres “modèles” (catégories de Segal, etc…):

1- la catégorie de toutes les quasicatégories, notée:

qCat

Et que l’on note aussi, pour rappeler que ses objets sont les ∞-catégories:

qCat

2-et la catégorie de toutes les catégories (démonstration page 11 au 2.2.4 à partir du lemme 2.2.1) notée :

CAT

ou

Cat

qui peut aussi être vue comme une 2-catégorie et l’exemple archétypique d’un 2-topos. Voir les pages du NLab:

https://ncatlab.org/nlab/show/CAT

et

https://ncatlab.org/nlab/show/Cat

On peut identifier l’exemple 1

qCat

à la (∞,2)-catégorie de toutes les (∞,1)-catégories notée :

(∞,1)Cat

qui a une page:

https://ncatlab.org/nlab/show/(infinity,1)Cat

Notons aussi un lemme fort utile (exemple 2.1.11 Page 9):

Si E est un objet d’un ∞-cosmos K , la “slice category” notée K/E (quotient de K sur E) ayant pour objets les foncteurs (à condition que ce soient des isofibrations, l’espèce spéciale de morphismes dans K selon les axiomes) d’un objet quelconque X dans K vers l’objet E (voir la figure 2.1.12 Page 9 pour la manière de définir les flèches entre ces objets de K/E)

Tout ∞-cosmos possède une 1-catégorie sous jacente (“underlying 1-category”) et une “homotopy 2-category” . Dans les exemples 1et 2 ci dessus, ce sont :

1 pour CAT la catégorie CAT elle même envisagée comme une catégorie

2 et pour (∞,1)Cat la catégorie qCat de toutes les quasicatégories, avec pour flèches les morphismes classiques d’ensembles simpliciaux (dans la catégorie sSet des ensembles simpliciaux)

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Pour admirer Emily Riehl dans ses œuvres:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2016/12/13/emily-riehl-formal-theory-of-adjunctions-and-monads/

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