#ScienceInternelle 9 #HigherToposTheory 10 : la structure de catégorie de modèles (“model category”) sur la catégorie des ensembles simpliciaux

Pour comprendre les travaux d’Emily Riehl et Dominic Verity, que j’ai abordés dans le 8 de ce hashtag:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/01/19/scienceinternelle-8-∞-cosmoi/

ici est important d’observer les allusions faites par ces chercheurs à un résultat fondamental d’André Joyal , sur l’existence d’une structure de “model category” sur la catégorie sSet des ensembles simpliciaux et sur la catégorie des quasicatégories , qui est une sous catégorie de sSet, une quasicatégorie étant un ensemble simplicial satisfaisant à des conditions supplémentaires, voir:

https://ncatlab.org/nlab/show/quasi-category

Voir aussi ces articles du Hashtag #HigherToposTheory:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/09/04/highertopostheory-ensembles-simpliciaux-et-quasi-categories/

et

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/13/jacob-lurie-higher-topos-theory-categories-topologiques-et-ensembles-simpliciaux/

L’importance du travail de Joyal , en relation avec les travaux de Quillen sur les “model categories” , est rappelée par Riehl et Verity par exemple Page 7 de leur article fondamental:

http://www.math.harvard.edu/~eriehl/yoneda.pdf

dans l’exemple 2.1.4 portant sur l’∞-cosmos des quasicatégories :

“Thèse choices make qCat an ∞-cosmos in which every object is cofibrant. Specifically the axiomes laid out above follow from standard results used in the construction of Joyal’s model structure on simplicial sets ”

(Suivent des références que je j’étudierai pas ici, vu que cet article est déjà très technique, mais je les mets en liens de ce blog, notamment l’article de Verity sur les “weak complicial sets” et celui de Joyal sur “quasicategories and Kan complexes”). Concernant Joyal justement, je signale ici une ambiguïté de notation: il appelle “logoi” les quasicatégories alors que dans le livre de Freud et Scedrov ce mot a une autre signification :

https://ncatlab.org/nlab/show/logos

Et dans ces “Notes on logoi”:

http://www.math.uchicago.edu/~may/IMA/JOYAL/Joyal.pdf

il parle Page 11 de la structure de “model category” sur les logoi. Mais les pages du début sont précieuses pour gagner une vue d’ensemble de tout ce domaine qui constitue le développement actuel des mathématiques et le cadre de la Science internelle des Idées qui en est dépendant .

Page 3:
Les logoi sont des exemples de (∞,1)-catégories au sens de Baez et Dolan; d’autres exemples sont les catégories de Segal, les catégories simpliciales, les catégories de Rezk (= espaces complets de Segal). Toutes ces notions sont équivalentes au sens de Quillen, car à chacune est associée une “model category” et ces catégories associées sont équivalentes au sens de Quillen.

Suit Page 3 une longue liste de parallèles entre la théorie des catégories (c’est à dire pour nous le “langage” du “plan spirituel-internel” et ce qui est appelé “homotopical algebra” : ce que Joyal appelle “homotopoi” et Rezk “homotopy toposes ” est ce que Lurie appelle ∞-topoi et dont il fait la théorie dans le langage des logoi:

http://www-math.mit.edu/~lurie/papers/oldtopoi.pdf

https://en.m.wikipedia.org/wiki/∞-topos

Joyal note, comme Lurie et Riehl-Verity , les nombreuses analogies et parallèles entre théorie des catégories et “the language of homotopical algebra”

Page 4 il parle du logos U qui a de nombreuses ressemblances avec la catégorie Set des ensembles, qui est pour nous le plan ontologique, de même que Set est l’exemple archétypique d’un topos, U est celui d’un homotopos.
Cette Page 4 contient un grand nombre d’observations importantes :la théorie des logoi permet d’étendre (unifier) la “machinerie de l’algèbre universelle ” (qui remonte à Whitehead) à la théorie de l’homotopie.

Une théorie algébrique T est définie comme un logos “petit” (small, même définition que pour les catégories) et un modèle de T est un une flèche:

T → U

U étant défini page 2 comme “homotopy coherent nerve of the category of Kan complexes”; U est un logos (large)

Des exemples de logoi sont d’ailleurs : les complexes de Kan, ou le nerf d’une catégorie . Les logoi sont aussi appelés par Joyal “weak Kan complexes” ou “quasicatégories”, Mais comme lui, nous préférerons ce terme de “logos”:

https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+coherent+nerve

La construction du “nerf d’une catégorie” , qui est fonctorielle, associe la catégorie des catégories à celle des ensembles simpliciaux sSet qui , rappelons le, sont les foncteurs contravariants de la catégorie simpliciale Δ vers la catégorie des ensembles, c’est à dire les suites d’ensembles indexées par des nombres entiers :

Δop → Set

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Ensemble_simplicial

Mais venons en maintenant à la structure de “model category” sur la catégorie es ensembles simpliciaux décrite par Joyal, tout en observant que page

https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/01/mark_weber_on_nerves_of_catego.html

Mais venons en maintenant à la structure de “model category” sur la catégorie es ensembles simpliciaux décrite par Joyal, tout en observant que page 3 Des “notes on logoi” Joyal décrit une structure “naturelle” de “model category” sur Cat, la catégorie des catégories, qui est considérée ici comme le “monde des Idées” (comme tout autre ∞-cosmos) de Platon.

Cette structure est décrite sur ces deux pages du Nlab:

https://ncatlab.org/nlab/show/model+structure+on+simplicial+sets

https://ncatlab.org/nlab/show/classical+model+structure+on+simplicial+sets

La notion de “catégorie de modèles ” (model category) a été définie par Quillen axiomatiquement pour servir de cadre à la théorie de l’homotopie:

https://ncatlab.org/nlab/show/model+category

C’est une catégorie où sont définies trois classes de flèches (toutes trois fermées par la composition des flèches) :les équivalences faibles, les fibrations et les cofibrations ( tout cela vise à axiomatiser la situation qui prévaut en théorie de l’homotopie)
Puisque nous avons privilégié les travaux d’Emily Riehl voici un court article d’elle sur cette structure de “model category”:

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/modelcat.pdf

On rencontre souvent deux notions que nous allons maintenant préciser (pour un choix de structure de model category, c’est à dire des trois classes de flèches):
– un objet X est dit fibrant si l’unique flèche de X vers l’objet terminal de la catégorie est une fibration.
-un objet Y est dit cofibrant si l’unique flèche allant de l’objet initial de la catégorie vers Y est une cofibration.

Dans la structure “naturelle” de model category sur Cat dont parle Joyal les équivalences faibles sont choisies comme les équivalences de catégories:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Équivalence_de_catégories

Dans la structure choisie pour les ensembles simpliciaux, les objets fibrants sont les logoi; les cofibrations sont les monomorphismes, généralisation catégorique des applications injectives .

La pensée de Jacob Lurie influence beaucoup les travaux d’Emily Riehl et Dominic Verity (ils disent d’ailleurs eux mêmes que l’un des objectifs de leur axiomatisation des ∞-cosmos est la compatibilité avec les travaux de Joyal et Lurie)

Or Lurie parle aussi de cette structure de “model category” des ensembles simpliciaux, dans “Higher topos theory”:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

Il le fait au chapitre II , au 2.2.5 “The Joyal model structure” . C’est Page 89 du livre, mais bizarrement cela ne se trouve pas dans l’architecture du livre sur le nLab:

https://ncatlab.org/nlab/show/Higher+Topos+Theory

Lurie y précisé que son approche est différente de celle de Joyal, basée sur des considérations purement combinatoires. Lurie, lui, utilisé plutôt la relation entre les ∞-catégories et les catégories simpliciales:

https://ncatlab.org/nlab/show/Higher+Topos+Theory#22_simplicial_categories_and_categories

Catégories simpliciales qui forment une catégorie qu’il note:

CatΔ

une catégorie munie d’une structure de “model category” dont il fait la théorie en Annexe A.3.2:

https://ncatlab.org/nlab/show/Higher+Topos+Theory#a32_the_model_structure_on_enriched_categories

C’est là Raison pour laquelle cet article se situe au confluent des deux hashtags:

#HigherToposTheory

et

#ScienceInternelle (qui est sous la dépendance de la théorie des ∞-cosmoi)

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