#ScienceInternelle 12 : mathématique, philosophie et Science internelle : vers une théorie axiomatique

La version mathématique de la dualité entre plan vital et plan spirituel-internel, en quoi consiste ce que j’appelle l’Ouvert et qui est la base de la Science internelle, se situe (pour l’instant) en la différence entre théorie des ensembles et théorie des catégories:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/03/15/les-deux-theories-mathematiques-privilegiees-par-badiou-topoi-et-ensembles-correspondant-aux-deux-plans-vital-ontologique-et-spirituel/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/03/15/theorie-des-ensembles-et-theorie-des-categories-et-des-topoi-selon-alain-badiou/

Nous sommes passés de là à l’opposition entre deux catégories mathématiques fondamentales, dont la théorie est maintenant bien balisée grâce aux (immenses) travaux de différents mathématiciens: la catégorie Set des ensembles et la catégorie CAT des catégories qui sont ce que j’appelle le mathème des deux plans : plan ontologique pour Set, et plan internel pour CAT:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/22/premiere-pierre-pour-une-nouvelle-science-internelle-mathesis-universalis-lidee-de-lun/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

C’est là ce que j’appellerais volontiers la “version exotérique” de la Science internelle, encore très dépendante du développement (certes très rapide) de la mathématique ainsi (ce qui m’ennuie un peu plus) de l’identification entre ontologie et théorie des ensembles par Alain Badiou (dans “l’Etre et l’événement”). Voir aussi l’article “Ontologie et théorie des ensembles” ici:

http://revueithaque.org/fichiers/cahiers/Lepage_Fradet.pdf

Dans notre schéma, une catégorie est une Idée, de deux façons : en tant que forme mathématique (une idée mathématique, c’est à dire émergeant de la pratique mathématique) et, en un second sens, un mathème de ce qui est en philosophie une Idée . CAT est une catégorie, donc une Idée :l’Idée de l’Un, l’Idée du plan internel. Set est une catégorie , donc une Idée :l’Idée de l’Etre , du plan ontologique. Un ensemble est une catégorie particulière , une catégorie sans flèches entre ses éléments, c’est donc une Idée, celle d’un étant, Idée moins “unifiante” que les autres catégories. Mais attention, il n’est pas question de “mépriser” la théorie des ensembles, théorie extraordinairement spirituelle, d’autant plus même qu’elle sert de cadres d’Idées pour traiter d’un plan plus “bas”, plus éloigné du plan de l’Idée :le plan de l’Etre.

Maintenant, comment pouvons nous faire avancer la Science internelle vers une version plus “ésotérique” que celle fondée sur cette pure opposition entre Set et CAT ? En la replaçant dans le mouvement même de la mathématique, qui est généralisation abstractive, aboutissant à ce qui est appelé en termes modernes “catégorification” :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Categorification

En somme la catégorification, consistant à remplacer tout ce qui est “ensembliste” (“Set-theoretic”) par des notions catégoriques équivaut dans notre schéma à la montée vers le plan internel, et la “décatégorification” à la descente, à la déchéance ontologique.

Quant à la philosophie, Whitehead la dépeint, au début de “Process and reality” comme “semblable au vol d’un avion, quittant le sol des faits empiriques pour le ciel de la généralisation imaginative avant de revenir atterrir ” . Une observation que j’appliquerai volontiers à la Science internelle, si je n’avais déjà décrit celle ci comme l’envol d’une fusée depuis la Terre du plan vital vers l’Espace du plan internel (où il est impossible de mener une vie biologique sans l’aide de la technique moderne, selon le film “Gravity”) dans un ancien article:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/22/premiere-pierre-pour-une-nouvelle-science-internelle-mathesis-universalis-lidee-de-lun/

J’ai pensé à plusieurs façons de faire évoluer la version préliminaire, “exotérique” de la Science internelle vers une version plus “ésotérique” , moins dépendante des autres disciplines (mathématique, physique , logique et philosophie)mais il ne faut pas se voiler la face, cette dépendance restera forte :la Science internelle doit être avant tout humble vis à vis des sciences et des scientifiques, ces infatigables et admirables moines du “Dieu des philosophes, des Savants et des mathématiciens” ,et si elle veut être “en Esprit et en Vérité” elle doit faire vœu de “pauvreté en esprit et de chasteté” et surtout s’y tenir. Passons maintenant en revue ces différentes voies , en gardant en tête surtout ce nécessaire vœu:

image

Première voie : Set est l’exemple archétypique de topos (de 1-topos c’est à dire) et Cat celui de 2-topos :

https://ncatlab.org/nlab/show/Cat

https://ncatlab.org/nlab/show/2-topos

(Bien garder en mémoire la différence purement formelle, liée aux distinctions entre ensembles et classes, entre CAT, métacatégorie de toutes les catégories , y compris les catégories “larges” et Cat:

https://ncatlab.org/nlab/show/CAT )

Cette voie mène à remplacer l’opposition entre Set et Cat par celle entre un (n-1)-topos et un n-topos

-seconde voie, un peu semblable : faire usage de la table périodique des n-catégories :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/01/17/scienceinternelle-7-la-table-periodique-des-n-categories/

Set, les ensembles, ce sont les 0-catégories et Cat, ce sont les 1-catégories , d’où l’idée de remplacer Set et Cat par la catégorie des (n-1)-catégories et celle des n-catégories

En poussant ce mouvement de catégorification aussi loin qu’il est possible , à l’infini, on arrive à :

-la troisième voie, celle des ∞-catégories:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/12/05/highertopostheory-8-definitions-equivalentes-pour-les-∞1-categories/

Il est nécessaire de remarquer ici qu’une n-catégorie peut être vue comme une catégorie enrichie sur les (n-1)-catégories, c’est à dire que les morphismes entre les objets forment une (n-1)-catégorie.
Ainsi une 1-catégorie (petite) est enrichie sur les ensembles , entre deux objets on a un ensemble (c’est à dire une 0-catégorie) de flèches. Si l’on passe aux ∞-catégories on doit remplacer CAT par (∞,1)Cat, ∞-catégorie des (∞,1)-catégories (qui sont ce que Jacob Lurie appelle les ∞-catégories) , voir :

https://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29Cat

Et Set doit être remplacé par ∞Grpd qui est l’∞-catégorie des ∞-groupoides , voir :

Sur laquelle (∞,1)Cat est enrichie, comme Cat sur Set:

https://ncatlab.org/nlab/show/Infinity-Grpd

D’ailleurs on apprend sur la Page ci dessus que de même que Set est l’exemple archétypique d’un 1-topos, ∞Grpd est celui d’un (∞,1)-topos

Notre table tient bien sûr ses quatre pieds!

Voici la Page du Nlab sur les (∞,1)-topoi:

https://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29-topos

qui dit en gros que ∞Grpd , exemple archétypique de (∞,1)-topos, est à Set, exemple archétypique de topos, ce que la théorie de l’homotopie (où Grothendieck a poussé très loin ses recherches) est à la théorie des ensembles, c’est à dire l’ontologie. La voie vers la “généralisation imaginative” est ainsi pavée (et pas uniquement de bonnes intentions, espérons le !) vers la:

-quatrième voie, celle des ∞-cosmoi:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/01/19/scienceinternelle-8-∞-cosmoi/

qui est à mon avis celle de l’axiomatisation complète: c’est à dire que , sans oublier le vœu d’humilité, vis à vis de ces admirables mathématiciens que sont Emily Riehl et Dominic Verity, le deux principaux porteurs de la recherche sur les ∞-cosmoi, nous ne resterons peut être pas toujours tributaires des avancées de leurs travaux . Puisque les ∞-cosmos peuvent être vus comme des catégories enrichies sur les ensembles simpliciaux (qui forment une catégorie notée sSet):

https://ncatlab.org/nlab/show/simplicially+enriched+category

Et que ces ∞-cosmos peuvent aussi être vus (selon l’axiomatique développée par Riehl et Verity) comme domaines où “habitent ” des objets appelés ∞-catégories, qui sont pour nous selon la troisième voie définie ci dessus, mathème des Idées, nous pourrons peut être imiter ce processus “axiomatique” et partir directement des Idées que nous nommerons directement ∞-catégories, mais sans spécifier ce qu’elles sont, comme on fait dans la méthode axiomatique, en précisant seulement les contraintes auxquelles elles doivent obéir selon différents modèles :la contrainte principale étant celle d’invariance vis à vis du modèle, comme dans le papier de Riehl et Verity:

http://www.math.harvard.edu/~eriehl/scratch.pdf

oùces chercheurs passent en revue quatre modèles pour définir “non schématiquement” les (∞,1)-catégories : ces quatre modèles sont les quasicatégories de Joyal (appelées aussi “weak Kan complexes”), les espaces complets de Segal, les catégories de Segal et les “marked simplicial sets”.Riehl et Verity ajoutent dans une note en bas de page 3:

“Plus tard, nous expliquerons que le terme ∞-catégorie peut aussi désigner d’autres variétés de catégories à une infinité de dimensions, mais nous n’entrerons pas maintenant dans cet ordre de considérations”

C’est exactement cette façon de procéder dont j’entends m’inspirer ici: se contenter d’une définition axiomatique, minimaliste, et réserver pour plus tard des définitions plus complètes , en accord avec les développements de la théorie mathématique de Riehl, Verity, Lurie, Toen ou d’autres. Les quatre modèles de Riehl et Verity jouent le même rôle que les quatre voies de généralisation axiomatique que j’ai définies plus haut, c’est à dire que nous avons deux contraintes à respecter :

-compatibilité avec Higher Topos theory de Jacob Lurie et avec les travaux de Riehl-Verity

-indépendance du choix du modèle, c’est à dire de la voie généralisatrice parmi les quatre.

Notons aussi que Riehl et Verity disent ceci sur leur axiomatisation des ∞-cosmoi et son origine chez Quillen :

“en fait Riehl et Verity ne se contentent pas de livrer de manière brute l’axiomatique des ∞-cosmoi, mais expliquent l’origine de cette axiomatisation qui se situe dans la théorie dû être à Quillen des catégories de modèles (“model categories”) qui sont elles mêmes des modèles pour la théorie de l’homotopie , notion venant de la topologie”

où nous retrouvons ce que nous avions noté plus haut :
“∞Grpd est à Set ce que l’homotopie est à la théorie des ensembles”

c’est à dire que Badiou et l’ontologie ensembliste cédent la place à Grothendieck et à l’homotopie, notion topologique . Tel est le processus d’avancée , “semblable au vol d’un avion ou au décollage d’une fusée”, de la Science internelle:

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