#HigherToposTheory 11 : L’analogue du 1-topos Set pour la théorie des ∞-catégories : l’ ∞-catégorie “Spaces”

Nous avons vu récemment que le projet de “Science internelle” rencontre certaines difficultés:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/02/18/scienceinternelle-12-mathematique-philosophie-et-science-internelle-vers-une-theorie-axiomatique/

et voir aussi la dernière partie de l’article très embrouillé d’hier, à propos du passage de Brunschvicg sur “ens et unum non convertuntur” , passage crucial (qui va bien plus loin que le simple “l’Un n’est pas” de Badiou) sur lequel je fonde la pensée de base de la “Science internelle” :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/02/28/louis-wolfson-ma-mere-musicienne-est-morte-de-maladie-maligne-a-minuit-mardi-a-mercredi-au-milieu-du-mois-de-mai-mille977-au-mouroir-memorial-a-manhattan/

dans le cadre initial que nous nous sommes fixés au début, où la catégorie (ou 1-topos) des ensembles Set joue le rôle du mathème pour le plan ontologique et la (métacatégorie) CAT de toutes les catégories celui du plan internel.

Or il existe un passage de “Higher topos theory” où Jacob Lurie met en évidence un analogue de Set pour le cadre des ∞-catégories : cela se trouve au 1.2.16 titré “The ∞-category of Spaces” , Page 51 du livre et Page 44-45 de cette version web (ce n’est pas dans toutes les versions web):

http://math.mit.edu/~lurie/papers/higher.pdf

C’est exactement ce que nous cherchons pour généraliser et axiomatiser le schéma “exotérique ” Set/CAT , dans le cadre du processus de catégorification faisant monter des catégories aux ∞-catégories.

Jacob Lurie y arrive de deux façons : par la définition 1.2.16.1 où il passe par la catégorie Kan des complexes de Kan, envisagée comme sous-catégorie de

SetΔ

qui est la catégorie des ensembles simpliciaux (simplicial sets). On note

CatΔ

la catégorie des catégories simpliciales (c’est à dire enrichies sur la catégorie des ensembles simpliciaux) et l’on a alors, selon le 1.1.5 “comparing
∞-categories with simplicial categories” le “simplicial nerve functor” :

N: CatΔ → SetΔ

qui a été introduit par Jean-Marc Cordier ici :

http://archive.numdam.org/article/CTGDC_1982__23_1_93_0.pdf

http://mathoverflow.net/questions/17849/the-simplicial-nerve

Ici sur le thème des ensembles simpliciaux, je signale cette note d’Emily Riehl :
http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ssets.pdf

“A leisurely introduction to simplicial sets”

Ce que Lurie appelle “∞-category of Spaces” est alors le nerf simplicial de la catégorie des complexes de Kan, sous-catégorie de CatΔ, c’est à dire ce qui lui correspond par le “simplicial nerve functor” .

Évidemment tout cela est très technique, que faut il en retenir pour la “philosophie” de la “Science internelle” ?

encore une fois que selon le “yoga des foncteurs” propre à la Sagesse géométrique de Grothendieck, l’ontologie abstraite des ensembles que privilégie tant Badiou est remplacée par l’homotopie qui rappelons le traite des déformations continues de courbes dans un espace topologique. C’est en ce sens que “Spaces” est dans le cadre de la théorie des ∞-catégories l’analogie de Set, catégorie des 0-catégories ou ensembles, à savoir de ce qui nous sert de “sol” dans le cadre de la théorie “classique” des 1-catégories, où toute catégorie peut être vue comme “enrichie” sur Set.

Rappelons nous d’ailleurs que Lurie commence son exposé par les catégories topologiques, c’est à dire enrichies sur la catégorie des espaces faiblement Hausdorff, et que ce n’est qu’ensuite qu’il opte pour les ensembles simpliciaux. J’ai d’ailleurs commencé à parler d’une seconde façon qu’a Lurie d’arriver à l’∞-catégorie “Spaces” , celle de la remarque 1.2.16.3, en prenant le nerf topologique de la catégorie des CW-complexes, qui est introduite ici comme “la catégorie appropriée pour faire de la théorie de l’homotopie”:

https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.bams/1183542350

Cela dit il reste des détails techniques non élucidés, rien que pour ce court passage du livre de Lurie. Je les reprendrai un à un dans ce Hashtag, car cela ne sert à rien d’aborder ces aspects si l’on ne va pas vraiment au fond des choses.

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