#ScienceInternelle 15 #ChuSpaces : les espaces de Chu

Les espaces de Chu (“Chu Spaces”, tous les documents que j’ai lus sur ce sujet sont en anglais) prennent leur origine dans la théorie des catégories , chez un Savant comme Michael Barr en particulier, d’ailleurs le volume 17 de “Theory and applications of categories” leur est consacré:

http://www.tac.mta.ca/tac/index.html#vol17

Avec une contribution de Michael Barr:

http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/17/1/17-01.pdf

qui explique que ce genre de constructions est né d’une recherche approfondie sur la notion de dualité dans la théorie des catégories et en mathématiques.

Or la dualité se trouve aussi à la base de la théorie de l’Ouvert et de la Science internelle qui est l’objet de ce blog.

La construction de Chu permet aussi de représenter un nombre surprenant de structures mathématiques, et ainsi d’unifier les mathématiques.

Pour commencer l’étude de ces objets, la page Wikipédia est tout indiquée:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Chu_space

Il s’agit donc d’une généralisation de la notion bien connue de matrice en algèbre linéaire, c’est à dire de tableaux de nombres (Mij) indexés par les indices i et j qui sont des nombres entiers variant de 1 à k et de 1 à n respectivement . L’élément de la matrice M qui se trouve au croisement de la ligne p et de la colonne q est noté :

mp,q

c’est généralement un nombre, mais ce peut être autre chose et il est préférable de lui garder un caractère d’abstraction , nous pourrons dire qu’il s’agit d’un élément d’un ensemble M:

m ∈ M

ou bien d’un objet d’une catégorie ou d’une ∞-catégorie.

Une telle matrice n’est donc rien d’autre qu’une application :

I × J → M

où I et J désignent les domaines de variations des indices i et j , ce sont des ensembles qui sont généralement des intervalles de N (nombres entiers) de la forme:

[1,n]

C’est à dire les nombres entiers compris entre 1 et n.

Mais en gardant à ces ensembles leur caractère de généralité on obtient la définition abstraite de la page Wikipédia ci dessus : une application ou fonction:

r : A × X → K

Où A × X désigné le produit cartésien des deux ensembles A (ensemble des points et X (ensemble des états) , c’est à dire leur produit dans la catégorie Set des ensembles . K est un autre ensemble. Une telle fonction r peut être considérée comme une K-relation, généralisation d’une relation. Si K est un ensemble à deux éléments, notés 0 et 1 :

K = {0,1}

on a alors une relation binaire classique : le produit cartésien A × X est l’ensemble des pires ordonnées (a,x) où a est un élément de A et x un élément de X et si l’application r fait correspondre à ce couple l’élément 1 de K on dit alors que les deux éléments a et x sont liés par la relation binaire r.

Cette application , qui vaut pour les ensembles c’est à dire la catégorie Set peut encore être généralisée à d’autres catégories C que Set : la fonction r devient alors un foncteur, ou plutôt un bi foncteur:

C × C → C

Mais les espaces de Chu peuvent aussi être considérés dynamiquement, dans la manière dont ils se transforment, et ils apparaissent alors comme une généralisation des espaces topologiques dont les morphismes (transformations) dans la catégorie Top qui les regroupe sont les fonctions continues ; dans un espace de Chu défini statiquement par un triplet d’ensembles associé à une application r (A, r, X, K), A joue le rôle de l’ensemble des points d’un espace topologique, x celui de l’ensemble des ouverts de la topologie, voir “Définition par les ouverts” dans la page suivante :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique

Et K peut être vu comme l’ensemble des degrés d’appartenance des points de À aux ouverts de X, comme dans la théorie des ensembles flous (“fuzzy sets”):

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Ensemble_flou

l’analogie des fonctions continues, qui sont les morphismes reliant les espaces topologiques dans leur catégorie Top, pour les espaces de Chu sur un ensemble K de degrés commun, ce sont alors des paires de fonctions (f,g):

(f,g) : (A,r,X) → (B,s,Y)

Avec :

f : A → B

et

g : Y → X

Respectant une condition ressemblant à celle d’une adjonction:

s [f(a),y] = r [a, g(y)] pour tous éléments a de A et y de Y .

C’est à dire que f transforme les points “forward” (“en avant” sous-entendu : dans le temps) et g transforme les états “backward” (” en reculant” )

De telles paires sont appelées “transformations de Chu” et ce sont les morphismes d’une catégorie Chu (Set, K) que forment tous les espaces de Chu ayant un ensemble de degrés K en commun. Là encore, la catégorie Set, qui je le rappelle joue le rôle de “sol ontologique” pour la “Science internelle” peut être remplacée par une catégorie plus générale , qui devra simplement être monoidale, c’est à dire munie d’un produit tensoriel:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Catégorie_monoïdale

Il y a encore pas mal de choses à apprendre sur la page Wikipédia, qui pour une fois est bien faite, notamment le caractère auto-dual et *-autonome de la catégorie Chu (Set, K) :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/*-autonomous_category

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dual_(category_theory)

Ainsi que la relation avec la logique linéaire de Jean-Yves Girard, et la façon dont les espaces de Chu permettent , en faisant varier K, de représenter tout un tas de structures relationnelles (n’oublions pas que comme Brunschvicg l’a mis en évidence, c’est la capacité à établir des relations qui caractérise la science) , algébriques et topologiques.
pour aller plus loin, il y a ce lien qui donne pas mal de références, accompagnées d’un survol:

http://chu.stanford.edu

On s’intéressera notamment au paragraphe “Stone gamut ” qui montre une échelle de “rigidité” des différentes catégories, depuis la catégorie la moins rigide et la moins structurée qui est Set ( c’est précisément pour cette raison que nous lui donnons ici le rôle de sol, de plancher “ontologique” , situé le plus bas, le plus loin du plan de l’Idée) . Les ensembles sont comparés au sable, pour leur “caractère granulaire” et “flexible” , les algebres booléennes sont au sommet de l’échelle pour la rigidité et les espaces vectoriels au milieu. quant aux espaces de Chu, ils occupent à peu près la totalité de l’éventail:

Sets are unstructured objects, like an unfurnished house. Structure has traditionally been provided in ad hoc ways according to need, like adding sofas and beds for a residence or desks and computers for an office. Mathematics furnishes its objects with operations to form algebras, relations to form relational structures, or topology to form topological spaces….

Chu spaces provide an elementary way of furnishing sets with structure that subsumes all the principal structuring techniques currently in use, both elementary and sophisticated. In so doing they remove the walls that divide up mathematics into its categories, and introduce many new structures previously unknown to mathematics, to create a new, universal, and homogeneous mathematical landscape. Every mathematical object is representable as a Chu space whose transformability is fully faithful to the transformability of the object it represents.

The extant mathematical categories tend in practice to group objects by stiffness. Sets are the most flexible, having the granularity of sand. Vector spaces are in the middle: picture a block of rubber. Boolean algebras are the stiffest.

Les espaces de Chu permettent une vision panoramique des mathématiques séparées en catégories : ils ne s’opposent pas à la théorie des catégories, ils l’accompagnent, la complètent, en jouant un peu le rôle de “verre grossissant”:

Chu spaces are important to the foundations of mathematics because they demonstrate that when one has stepped back to view the mathematical landscape from a sufficient distance, a global symmetry appears, duality, that is not apparent when standing inside any particular category. This is like the difference between natural numbers and integers: with the former there is no operation of negation, which only springs into existence to create a symmetry when the view is broadened to include the negative numbers.

Ils éclairent ainsi, en liaison avec les catégories, le caractère fondamental de la notion de dualité :

We are therefore dealing with the duality of points and states. Now it is eminently reasonable to think of points as physical and states as mental. This would make duality for Chu spaces a sort of duality between the mental and the physical.

et jettent une nouvelle lumière sur les problèmes philosophiques fondamentaux liés au “dualisme cartésien”, comme le “mind-body problem”. Il y a ainsi un article très dense et très important de Vaughan Pratt (nom à retenir):

http://www.newdualism.org/papers/V.Pratt/ratmech.pdf

“Rational mechanics and natural mathematics” , qui part justement du dualisme cartésien (considéré par les neuneus post-modernes comme le “péché originel” du cartésianisme).
La Page 2 aborde l’occasionalisme de Malebranche et le spinozisme, passant ensuite aux monades leibniziennes et à Russell : il est clair que le dualisme n’a plus très bonne presse de nos jours, d’où l’importance que l’on doit attacher aux recherches mathématiques sur la dualité , ce qui a entraîné l’émergence des espaces de Chu avec Michael Barr et son élève thésard Chu .

Le programme de Vaughan Pratt , à partir de la Page 3 , est de réduire la complexité des interactions corps-esprit aux interactions élémentaires entre les “états du mental” qui sont assimilables aux “mondes possibles”, et les événements corporels. C’est cela la dualité basique : entre états et événements.
Mathématiquement (Page 4) Le “monde des corps et des événements ” (le monde qui est “tout ce qui arrive” de Wittgenstein ) est représenté par la catégorie Set ayant pour objets les ensembles et pour morphismes les fonctions. Le monde des esprits purs est représenté par la catégorie Setop qui a les mêmes objets que Set, les ensembles, mais pour morphismes les antifonctions. Ces antifonctions g sont définies comme les relations binaires dont la transposée ou inverse (“converse” ) est une fonction :

g : Y → X

(rappelons qu’une fonction ne peu envoyer un élément de Y que sur un seul correspondant dans X)

Ainsi le choix mathématique de Vaughan Pratt est différent du nôtre, qui est CAT, mais cela vient de son optique qui est plus “physicaliste”:du point de vue qui est le mien, toutes les interactions, qu’elles soient entre les corps ou entre les corps et les esprits sont dans le “monde” , dans le plan vital . J’ai bien précisé dès le début que le psychique doit être séparé du spirituel et se situe parmi les phénomènes du monde. Par contre le monde des Idées est absolument indépendant du monde phénoménal.

Je sais bien que dire cela devant un congrès de scientifiques déclencherait à peu près la même hilarité générale que FILLON présentant son programme devant une assemblée de militants de Mélenchon alcoolisés, mais comme FILLON j’irai jusqu’au bout : sinon à quoi bon parler d’une nouvelle science, “internelle” ? Il suffit de faire de la physique ou des mathématiques!

Mais voici un autre article de Vaughan Pratt :

http://ac.els-cdn.com/S157106610580475X/1-s2.0-S157106610580475X-main.pdf?_tid=4cc45462-01b2-11e7-b6f3-00000aab0f01&acdnat=1488725276_934b3c189e6be3017a51db9930b1c9cd

“Types as processes, via Chu spaces”

où il parle Page 1 de la dualité :

– la dualité événements -états, qui est inhérente à la définition même des espaces de Chu (nommée dans la page Wikipédia dualité entre points et états) est proche de la dualité connue en physique entre Temps et information et fonctionne de la même manière que les dualités rencontrées en mathématiques
– cette dualité est plus qu’un simple phénomène, elle est une fondation universelle de la Science et des mathématiques (ce qui signifie dans ma terminologie qu’elle se situe sur le plan de l’Idée)

Revenons dans cette perspective à la Page de Stanford:

http://chu.stanford.edu

Il y est affirmé dans le dernier paragraphe (“Getting physical”) deux choses importantes :

– la dualité physique entre Temps et énergie (donc masse) y est évoquée en relation avec la dualité entre points et états dans les espaces de Chu

– tous les états sont mentaux, et non physiques.

“The significance of all this is that both energy and entropy can be understood as information, respectively before and after dilution by temperature when viewed differentially as flux.

Since mass is just slowly moving energy (and lots of it for even a small amount of mass, c2 being a very large number), we have that mass too is information, huge amounts of it, and hence mental”.

Dans la “Science internelle” la dualité est “catégorifiée” selon le mouvement propre aux mathématiques depuis 1945 : cela veut dire que le “dualisme corps-esprit” est “élevé” vers la dualité entre plan vital et plan internel qui est l’Ouvert, fondant la “Science internelle”

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