Alexandre Grothendieck : à la poursuite des champs (Pursuing stacks) 1983

https://ncatlab.org/nlab/show/Pursuing+Stacks

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Pursuing_Stacks

La version la plus facile (techniquement, c’est un fichier pdf) à lire, mais en anglais:

https://thescrivener.github.io/PursuingStacks/ps-online.pdf

C’est un texte qui n’est pas uniquement mathématique (ainsi on admirera les annotations à droite de la lettre à Quillen : “importance de l’innocence, “un bref regard au Purgatoire”…)

Sinon il y a cette Page:

https://webusers.imj-prg.fr/~georges.maltsiniotis/ps.html

(Je déconseille de cliquer sur le version scannée en djvu si vous ne savez pas bien manipuler ce genre de fichiers)

Mais il y a sur cette page tout un tas d’autres liens vers la correspondance de Grothendieck , et vers les travaux de Maltsinotis et Cisinski continuant le sien…là encore il vaut mieux en rester aux fichiers .pdf..

Voici un exposé de Bertrand Toen sur le contenu mathématique du manuscrit, faisant le lien avec “trente ans après ” : l’idée centrale de Grothendieck dans le manuscrit de 1983, ce sont les n-catégories:

https://perso.math.univ-toulouse.fr/btoen/files/2015/07/Grothendieck-Stacks-2015.pdf

Forme non conventionnelle style journal de bord” ; il est de fait que cela ressemble peu à un ouvrage classique de mathématique :Grothendieck , qui vivait dans et pour le monde des Idées bien plus que pour le monde soi disant réel, trace comme ce qui serait une carte d’explorateur en solitaire de ce monde des Idées, il se perd, revient sur ses pas, corrige sa visée. Il n’est pas encore habitué à la certitude absolue de ce monde ( puisque c’est nous même qui formons les Idées), où la croyance n’a pas sa place, c’est comme une lumière aveuglante…

Grothendieck se pose des questions qui peuvent paraître saugrenues,( exemple :que veut dire “identifier” des objets mathématiques), mais il en vient ainsi à des problèmes ardus, recouvrant de réelles questions mathématiques

Dans la biographie de Grothendieck par Allyn Jackson dont j’ai donné les liens:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/03/11/comme-appele-du-neant-notes-de-lams-sur-la-vie-dalexandre-grothendieck/

Il est dit (c’est à la première Page de la seconde partie) que Grothendieck avait une approche particulière des problèmes, il partait d’un niveau de généralité (c’est à dire en fait d’universalité) très élevé, mais sans viser la généralité pour elle même. Il y avait comme une sorte de réglage spirituel très affûté (“right leverage”) qui causait ce fait que dans sa pensée la généralisation se révélait efficace et ne tournait jamais à vide, dans une abstraction stérile.

Dans son exposé, Bertrand Toen révèle l’idée qui était en train de se dégager chez Grothendieck dès cette année 1983 dans “Pursuing stacks” et il la nomme : c’est celle d’∞-catégorie.

Il dit Page 2que cette idée majeure, qui découle du thème central du document qui est celui des n-catégories, est née lors de la “seconde période” de la vie de Grothendieck, après avoir quitté l’IHES. Le point de départ se situe dans la lettre à Quillen, avec la notion d’espace à homotopie près.

Le contenu mathématique est très dense, et “d’une lecture difficile mais fascinante” , il y a des erreurs, des corrections, des ratures, sans doute aussi des “chemins qui ne mènent nulle part” Le texte est tellement “hors normes” qu’il n’aurait pas été accepté dans une revue mathématique standard.
Page 14 le texte “Esquisse d’un programme” qui est aussi de 1983 (il a été envoyé au CNRS en 1984 pour candidature) est cité (Page 33) , Grothendieck y parle de questions fondamentales qui se posaient déjà en termes clairs vingt ans auparavant (c’est à dire au début des années 60) “sans que personne ne les voie”.
Ces deux questions qui sont d’origine géométrico-arithmétique, sont deux aspects d’une même question, liée à l’identification des espaces homotopiquement équivalents:

https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+equivalence

The HoTT Book

Ces deux aspects du problème sont :

-qu’est ce que le type d’homotopie d’un espace?
– que signifie l’identification de deux objets mathématiques ?

Ces questions, qui conduisent Grothendieck à introduire le formalisme des catégories dérivées:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Derived_category

, n’ont été résolues selon Toen (Page 18) que dans les années 2000 grâce aux ∞-catégories.
Les chercheurs que nous avons rencontrés dans le Hashtag #HigherToposTheory : Jacob Lurie, André Joyal, Emily Riehl etc.. et bien d’autres, peuvent donc être considérés comme les continuateurs de Grothendieck, et à travers lui de Descartes et de son projet de Science universelle ( Mathesis universalis) thématisé par Descartes dans le commentaire de la Règle 1:

https://fr.m.wikisource.org/wiki/Règles_pour_la_direction_de_l’esprit

car comme les sciences toutes ensemble ne sont rien autre chose que l’intelligence humaine, qui reste une et toujours la même quelle que soit la variété des objets auxquels elle s’applique, sans que cette variété apporte à sa nature plus de changements que la diversité des objets n’en apporte à la nature du soleil qui les éclaire, il n’est pas besoin de cir­conscrire l’esprit humain dans aucune limite ; en effet, il n’en est pas de la connaissance d’une vérité comme de la pratique d’un art ; une vérité découverte nous aide à en découvrir une autre, bien loin de nous faire obstacle. Et certes il me semble étonnant que la plupart des hommes étudient avec soin les plantes et leurs vertus, le cours des astres, les transformations des mé­taux, et mille objets semblables, et qu’à peine un petit nombre s’occupe de l’intelligence ou de cette science universelle dont nous parlons

Advertisements
This entry was posted in Philosophie. Bookmark the permalink.