Propriété universelle en théorie des catégories

C’est une des notions les plus importantes, mais aussi les plus difficiles, j’y avais déjà consacré cet article:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/08/15/quest-ce-quune-propriete-universelle-y-a-til-une-reponse-satisfaisante/

En tout cas il y a une Page de discussions (assez animée) sur le nForum à ce propos:

https://nforum.ncatlab.org/discussion/7261/universal-property-explanation-category-theory/#Item_0

On y trouve le lien vers ce site :

Projet:

https://arbital.com/project/

Page:

https://arbital.com/p/universal_property/

Retenir ceci qui est important :

“In category theory, we attempt to avoid thinking about what an object is, and look only at how it interacts with other objects. It turns out that even if we’re not allowed to talk about the “internal” structure of an object, we can still pin down some objects just by talking about their interactions”

C’est à dire que la Science des relations prédomine sur l’ontologie (ce qu’un objet est “en soi même”)

Ainsi l’ensemble vide (qui n’a pas d’éléments, donc difficile à caractériser “en soi même “) est un exemple d’objet initial dans une catégorie, un objet initial étant caractérisé par une propriété universelle : un objet I dans une catégorie est initial si pour tout objet A de cette catégorie, il n’y a qu’une seule flèche allant de I à A :

∃! f: I → A

∃ Veut dire : “il existe” ∃! : “il existe un seul”

L’ensemble vide est un objet initial dans la catégorie Set des ensembles, de même le groupe trivial (à un seul élément ) :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Trivial_group

est à la fois initial et terminal (propriété duale, en inversant le sens des flèches, universelle aussi : il existe une seule flèche allant de tout objet de la catégorie vers l’objet terminal) c’est ce qu’on appelle un :

objet nul (à la fois initial et terminal)

De même l’anneau Z des entiers relatifs est un objet initial dans la catégorie Ring des anneaux (où un objet terminal est l’anneau réduit au seul élément zéro):

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Category_of_rings

Et dans la catégorie des nombres entiers (une flèche allant de m à n si et seulement si m est inférieur ou égal à n ) le nombre zéro est un objet initial, pas d’objet terminal .

L’idée de “problème universel” (qui apparaitdéjà chez Wronski ) fait appel à la notion d’objet initial (ou terminal, de façon duale):

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/12/05/lidee-de-probleme-universel-un-important-promontoire-pour-une-vision-de-lunite-de-la-mathesis/

J’en profite pour signaler que l’on trouve ici l’Encyclopédie mathématique “selon les principes de Wronski” de Sarrazin de Montferrier (qui était le gendre de Wronski):

http://sites.mathdoc.fr/cgi-bin/linum?aun=001541

Je l’ai mis dans les liens (à la rubrique “Wronski”)

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