#ScienceInternelle 19 : recherches sur l’Idée de #Dieu qui est Dieu: ∞-catégorie des ∞-catégories

J’ai déjà affirmé ici que Dieu, le Dieu des philosophes et des Savants, est une Idée ,formée par l’esprit humain, pas un Être suprême qui pourrait avoir des intentions , des sentiments, des pensées , selon une image anthropomorphique . C’est cela la révolution religieuse, seul salut possible pour une humanité complètement abrutie et dégénérée, que vise la “Science internelle” des Idées que je tente de bâtir ici.
Elle est fondée sur la thèse de l’ouvert selon laquelle il n’y que des “étants” appartenant au “monde naturel” ou “plan vital” , et des Idées appartenant au plan internel-spirituel: Dieu n’est un étant, donc l’Idée de Dieu s’identifie à Dieu, c’est une Idée pure, appartenant au monde des Idées de Platon
“Dieu” est aussila plus haute des Idées du plan internel-spirituel, il ne faut donc pas faire d’erreur en formant cette Idée, il y va du salut de l’humanité. Seule cette Idée, si elle est correctement formée, peut donner un sens à l’existence humaine.
Voici le genre d’horreurs insoutenables auxquelles conduit une fausse Idée de Dieu , conçu sur le modèle des sociétés inférieures comme un Suzerain, un Seigneur qui est aussi un Saigneur, une Idole sanguinaire, Allah, ou le “Dieu des Armées ” de la Bible:

https://lhommeoccidental.wordpress.com/2017/04/14/horreur-islamique-insoutenable-ces-musulmans-decapitent-un-enfant-au-nom-dallah-le-porc-nazi/

(attention, cette vidéo montrant la décapitation d’un enfant par des fanatiques aux cris d'”Allahouakbar!” est absolument insupportable, ne regardez en aucun cas si vous êtes mineur(e) ou sensible à la vue du sang et du meurtre le plus horrible qui soit: celui d’un enfant, innocent par définition)

Donc Dieu est une Idée , appartenant au plan internel de l’Idée , et non pas un “étant” situé dans le “monde” ou plan vital-psychique.
Voir cet article dans ce même Hashtag:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/12/21/scienceinternelle-4-au-fait-et-dieu-dans-tout-ca/

Brunschvicg le dit admirablement, comme d’habitude :

Les trois propositions génératrices du scepticisme, de l’immoralisme et de l’athéisme sont : le vrai est, le bien est, Dieu est

Et voir cet article:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2015/08/14/brunschvicgraisonreligion-troisieme-opposition-fondamentale-dieu-humain-ou-dieu-divin/

sur la troisième opposition fondamentale tracée par Brunschvicg entre “Dieu humain et Dieu véritablement divin” dans “Raison et religion” (1939):

https://leonbrunschvicg.wordpress.com/brunschvicg-raison-et-religion/

J’avais reblogué ici cet ensemble de deux articles de l’excellent blog “Vivre Spinoza” ( que j’ai certes critiqué vertement pour sa position dans l’affaire “Dieudonné” mais cela ne porte pas à conséquence ) sur “l’Idée de Dieu et les trois genres de connaissance (chez Spinoza)”

https://vivrespinoza.wordpress.com/2017/03/01/lidee-de-dieu-et-les-trois-genres-de-connaissance-12/

https://vivrespinoza.wordpress.com/2017/03/02/lidee-de-dieu-et-les-trois-genres-de-connaissance-22/

Nous lisons ceci dans le premier article:

Dans le premier scolie de Eth IV, 37, Spinoza introduit le concept génétique de Religion :

« Je rapporte à la Religion tous les désirs et toutes les actions dont nous sommes cause en tant que nous avons l’idée de Dieu, c’est-à-dire en tant que nous connaissons Dieu.»

Mais, toujours selon Spinoza, il y a trois genres de connaissance, l’Imagination, la Raison et l’Intuition. Il devrait dès lors y avoir trois religions différentes, suivant le genre de connaissance que les hommes ont de Dieu.

Et surtout ce qui vient après :

Remarquons cependant que les idées de Dieu correspondantes à chacun des genres de connaissance, idées que nous allons découvrir, ne doivent pas être considérées comme des exemples de chacun de ces genres tels que ceux que nous avons énoncés dans de nombreux articles antérieurs.

C’est l’idée de Dieu qui engendre toutes les autres idées ainsi que les désirs et les actions. Cette idée est donc littéralement l’Idée des idées.

Les genres de connaissance ne sont rien d’autre que des genres de connaissance de Dieu. Cette connaissance de Dieu est évidemment théorique, c’est un point de vue sur Dieu et sa communication est littéralement un « discours sur cette idée », donc une idéologie. Mais, comme elle engendre aussi des actions, elle est aussi pratique et, en ce sens, elle inverse le rapport de détermination marxiste entre infrastructure et superstructure.

Ces trois genres de connaissance de Dieu ne correspondent ils pas aux trois “conceptions” de Dieu, selon les trois types d’êtres humains, dans le livre de Marie Anne Cochet , voir:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/11/24/cochetbrunschvicg-12-trois-types-detres-humains-donc-trois-conceptions-de-dieu-trois-dieux-en-guerre/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/11/25/mais-comment-sappellent-ces-trois-dieux-en-guerre-permanente/

En tout cas nous avons vu que les Idées s’identifient dans leur mathème aux catégories ou dans la version la plus perfectionnée et “infinitisée ” de la Science internelle, les ∞-catégories .
Que “Dieu soit l’Idée des Idées” signifie donc que le mathème, l’Idée de Dieu s’identifie à l’Idée mathématique de CAT, catégorie de toutes les catégories :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

c’est à dire au fond au plan internel des Idées, qui est une Idée.

Dans la version la plus perfectionnée de la Science, ∞-catégorique, l’Idée de Dieu , Idée des Idées (qui sont les ∞-catégories) est l’∞-catégorie de toutes les ∞-catégories , notée :

(∞,1)Cat

Voir :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/03/17/scienceinternelle-17-le-principe-democratique-de-legale-dignite-de-tous-les-etres-humains/

et ce passage notamment:

∞Gpd est aussi l’exemple archétypique d’un (∞,1)-topos :

https://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29-topos

de même que Set est l’exemple archétypique d’un topos (ou 1-topos) et CAT l’exemple archétypique d’un 2-topos.
Donc, de même que Set et CAT sont les mathèmes du plan vital-ontologique et du plan internel-spirituel, de même ∞Gpd et (∞,1)Cat sont les versions ∞-catégoriques de ces mathèmes.

Ici plusieurs objections surgissent immédiatement :

– mais rappelons d’abord qu’un énoncé n’est scientifique que s’il est vérifiable et réfutable : même s’il est vérifié , il pourra toujours être réfuté (cela signifiera que la vérification avait été incomplète ou fautive) . Ce qui est donc dit ici n’est pas une affirmation dogmatique, mais une proposition, une incitation à méditer plus avant sur l’Idée de Dieu, la plus haute de toutes, liée aux Idées de Perfection et d’Infini et sur les ∞-catégories , par exemple en poursuivant l’étude du livre “Higher topos theory” de Jacob Lurie dans le Hashtag #HigherToposTheory

1 Première objection :

il y a donc deux Idées de Dieu, donc deux Dieux ? CAT et

(∞, 1)Cat ?? Deux versions de la Science internelle: catégorique et ∞-catégorique ?

Réponse : en effet , et cela est dû au fait que la Science est dépendante du travail des mathématiciens, ces héros de l’Esprit des temps modernes : la théorie des catégories est maintenant bien balisée , grâce aux travaux de William Lawvere et bien d’autres, et CAT et son axiomatisation font l’objet de nombreuses études :

https://ncatlab.org/nlab/show/CAT

https://ncatlab.org/nlab/show/Cat

Par contre la théorie des ∞-catégories, idée née des travaux de Grothendieck, est en cours d’élaboration , même si elle est déjà très avancée depuis “Pursuing stacks” de Grothendieck en 1983)

Évidemment la version ∞-catégorique est supérieures à la Première, puisqu’elle consiste à étendre à l’infini le processus de catégorification duquel est née en 1945 la théorie des catégories :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Categorification

https://arxiv.org/abs/math/9802029

Une catégorie où 1-catégorie est la catégorification d’une 0-catégorie (un ensemble) , une 2-catégorie est la catégorification d’une 1-catégorie, etc.. etc…

“Catégorifier” cela consiste donc à introduire plus de relations, de relations entre les relations, etc.. puisque les morphismes sont assimilables à des relations. Or le caractère relationnel des mathemata est l’essence même de la Science et de l’idéalisme platonicien:

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/progres_conscience_t1/progres_conscience_t1_intro.html

l’opposition décisive entre l’idéalisme mathématique de la République platonicienne et le réalisme astro-biologique de la Métaphysique aristotélicienne a défini le thème fondamental de l’Occident dans le domaine pratique comme dans le domaine théorique, indépendamment de toute référence au christianisme. Plusieurs siècles avant qu’il ait commencé d’exercer sa propagande, la polémique de l’Académie et du Lycée apporte le témoignage lumineux qu’il existe deux types radicalement distincts de structure mentale, commandés, l’un par les relations de la science (μαθήματα), l’autre par les concepts du discours (λόγοι).

Dans le cadre des connaissances actuelles, c’est donc la version ∞-catégorique qui est la plus valide. Mais le développement des mathématiques est indéfini, après les ∞-catégories viendra un niveau supérieur .. la Science internelle devra s’y adapter.

Évidemment cette réponse peut paraître problématique , mais il y a plus grave…

2 Deuxième objection:

Ce que Jacob Lurie appelle ∞-catégories ce sont les (∞,1)-catégories c’est à dire les ∞-catégories, munies de k-morphismes por k allant de 0 à l’infini et telles que tous les k-morphismes sont inversibles, ou des équivalences:

https://ncatlab.org/nlab/show/equivalence

à partir de k supérieur ou égal à 2 (ou strictement supérieur à 1):

https://en.m.wikipedia.org/wiki/(∞,1)-category

https://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29-category

et (∞,1)Cat est en fait une (∞,2)-catégorie, qui peut être vue comme une (∞,1)-catégorie comme il est expliqué sur la Page du Nlab:

https://ncatlab.org/nlab/show/(infinity,1)Cat

“(∞,1)Cat is the (∞,2)-category of all small (∞,1)-categories.”

Le fait que ce soit une (∞,1)-catégorie est expliqué par:

“Sometimes it is useful to consider inside the full (∞,2)-category of (∞,1)-categories just the maximal (∞,1)-category and discarding all non-invertible 2-morphisms. This is the (∞,1)-category of (∞,1)-categories”

Ce qui mène à cette page:

https://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29-category+of+%28infinity%2C1%29-categories

qui précise qu’une (∞,1)-catégorie est un “contexte pour une théorie abstraite de l’homotopie” et donc que (∞,1)Cat peut être appelée “homotopy theory of homotopy theories” et cette notion (qui était au cœur des travaux de Grothendieck) conduit à une multitude d’autres points de vue :

https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+theory

https://arxiv.org/abs/math/0504334

http://www.math.illinois.edu/~rezk/rezk-ho-models-final-changes.pdf

Mais ce n’est pas ici le lieu de nous embarquer sur toute cette mer de complexités nouvelles. Demandons nous plutôt : pourquoi Jacob Lurie a t’il choisi les (∞,1)-catégories comme cadre mathématique pour les ∞-catégories ? C’est précisé dans “Higher topos theory” :

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

à la Convention 1.1.1.5 Page 5 du livre (papier):d’abord des conventions de notation: les (∞,0)-catégories seront parfois désignées comme ∞-groupoides et les (∞,2)-catégories comme ∞-bicatégories . À moins que le contraire ne soit spécifié le terme générique “∞-catégorie” désignera une (∞,1)-catégorie.

Jacob Lurie poursuit en expliquant ses choix:

Dans ce livre (HTT) nous limiterons notre attention presqu’entièrement à la théorie des ∞-catégories (dans lesquelles on a seulement des n-morphismes inversibles dès que n est supérieur ou égal à 2)

Nos raisons pour cela sont de trois ordres:

1- autoriser des n-morphismes non inversibles pour n > 1 introduit des difficultés à la fois techniques et conceptuelles :comme nous verrons, beaucoup d’idées de la théorie des catégories se généralisent directement au cadre ∞-catégorique . Ces généralisations ne sont pas aussi simples si nous autorisons des 2-morphismes non inversibles . Par exemple on doit distinguer entre “produit fibres strict ” et “produit fibres faible” même dans le cadre des 2-catégories “classiques”

2- pour les applications considérées dans ce livre nous n’aurons pas besoin de considérer les (∞, n)-catégories pour n> 2. Le cas n= 2 est important parce que la collection des (petites) ∞-categories peut naturellement être vue comme une ∞-bicatégorie . Mais nous pourrons généralement exploiter la structure de manière à n’avoir pas besoin de développer une théorie des ∞-bicatégories en général.

3- pour n > 1 la théorie des (∞,n)-catégories peut être vue naturellement comme un cas spécial de théorie des catégories (multidimensionnelles) enrichies. En gros, une n-catégorie peut être vue comme une catégorie enrichie sur les (n-1)-catégories. Ce point de vue est inadéquat car il nécessite que la loi de composition satisfasse une propriété d’associativité avec égalité stricte, alors que dans la pratique l’associativité ne tient qu’à un isomorphisme près (ou une autre notion plus faible d’équivalence). En d’autres termes pour obtenir une définition correcte d’une n-catégorie nous devons déjà considérer la collection des (n-1)-catégories comme une n-catégorie, non comme une catégorie ordinaire :l’approche naïve est donc circulaire.

Selon des lignes de pensées semblables, on peut voir une (∞,n)-catégorie comme une ∞-catégorie enrichie sur les (∞,n-1)-catégories. La collection des (∞,n-1)-catégories est elle même organisée en une (∞,n)-catégorie, notée

Cat(∞,n-1)

Donc il semble que cette définition soit aussi circulaire. Mais ce n’est pas le cas, car on ne demande à l’associativité de la composition que de tenir à une équivalence près , plutôt qu’à une transformation naturelle arbitraire près. Donc les k-morphismes non inversibles dans Cat(∞,n-1) sont non importants et peuvent être négligés. On peut définir une (∞,n)-catégorie comme une catégorie enrichie sur:

Cat(∞,n-1)

regardée comme une ∞-catégorie en éliminant les k-morphismes non inversibles pour 1 ≤ k <n

en d'autres termes la définition naïve récursive des catégories multidimensionnelles est raisonnable pourvu que nous travaillions dès le début dans le cadre ∞-catégorique.
Nous renvoyons le lecteur à cet article:

https://arxiv.org/abs/alg-geom/9512006

pour une approche similaire, ainsi qu’à notre thèse:

https://ncatlab.org/nlab/show/Derived+Algebraic+Geometry

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/DAG.pdf

…..

Tout ceci , que nous venons de citer , se trouve à la Page 6 du livre HTT de Lurie (version papier). On notera que Lurie y justifie (dans son point 3) la procédure d’élagage des k-morphismes non inversibles qui permet de considérer (∞,1)Cat qui est une (∞,2)-catégorie , comme une (∞,1)-catégorie, c’est à dire une ∞-catégorie dans la convention de Lurie. Ce qu’il note:

Cat(∞,n-1)

devrait être noté , pour s’harmoniser avec la notation du Nlab:

(∞,n-1)Cat

Ensuite Lurie propose les deux voies pour servir de cadre à la théorie des ∞-catégories :

-celle des catégories topologiques

-ou une théorie plus “flexible” pour laquelle il y a plusieurs candidats, rattachés à la théorie des ensembles simpliciaux : les catégories de Segal, les espaces complets de Segal et les “model categories ” , Lurie dit que son livre utilisera les “weak Kan complexes”:

https://ncatlab.org/nlab/show/weak+Kan+complex

Et il renvoie au livre de Boardman-Vogt:

http://link.springer.com/book/10.1007%2FBFb0068547

https://books.google.fr/books?id=QjB8CwAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=fr#v=onepage&q&f=false

Ce sont les quasi-catégories étudiées par André Joyal :

http://ac.els-cdn.com/S0022404902001354/1-s2.0-S0022404902001354-main.pdf?_tid=54897480-2295-11e7-bea4-00000aacb361&acdnat=1492341222_086fb5f7eff837205373fea9ca028f76

http://www.math.uchicago.edu/~may/IMA/Joyal.pdf

qui sont les ∞-catégories de Lurie.

Nous avions déjà étudié ces passages et ces notions dans le Hashtag #HigherToposTheory :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/13/jacob-lurie-higher-topos-theory-categories-topologiques-et-ensembles-simpliciaux/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/12/05/highertopostheory-8-definitions-equivalentes-pour-les-∞1-categories/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/11/30/highertopostheory-6-modeles-algebriques-et-geometriques-pour-les-∞-categories/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/01/21/scienceinternelle-9-highertopostheory-10-la-structure-de-categorie-de-modeles-model-category-sur-la-categorie-des-ensembles-simpliciaux/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/09/04/highertopostheory-ensembles-simpliciaux-et-quasi-categories/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/03/01/highertopostheory-11-lanalogue-du-1-topos-set-pour-la-theorie-des-∞-categories-l-∞-categorie-spaces/

Mais il me faut citer en plus ces lignes de la page 8:

Pour avoir une intuition (to get a feeling) de ce qu’une ∞-catégorie C devrait être, on considérera deux cas extrêmes :si tout morphisme dans C est inversible , C est équivalente à l’ ∞-groupoide fondamental d’un espace topologique:

https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+infinity-groupoid

Dans ce cas , la théorie des catégories multidimensionnelles se réduit à la théorie classique de l’homotopie. Dans l’autre cas extrême , si C n’a pas de n-morphismes non-triviaux pour n > 1, alors C est équivalente à une catégorie ordinaire.

Un formalisme général doit capturer les caractéristiques de ces deux cas extrêmes. En d’autres termes, il nous faut des objets mathématiques qui se comportent à la fois comme des catégories et comme des espaces topologiques. Au paragraphe 1.1.1 nous sommes passés en force : nous avons amalgamé la théorie des catégories et celle des espaces topologiques en considérant les catégories topologiques. Mais une approche plus directe du problème est possible en utilisant les ensembles simpliciaux

La théorie des ensembles simpliciaux:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/13/jacob-lurie-higher-topos-theory-categories-topologiques-et-ensembles-simpliciaux/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/09/04/highertopostheory-ensembles-simpliciaux-et-quasi-categories/

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Simplicial_set

est résumée dans l’annexe A.2.7 de HTT et introduite dans le livre de Goerss et Jardine “Simplicial homotopy theory” qui est ici:

https://www.math.univ-paris13.fr/~vallette/Goerss-Jardine.pdf

Cet article est déjà très lourd et je vais m’arrêter là , laissant les développements mathématiques (absolument nécessaires, n le comprend bien ) au Hashtag #HigherToposTheory

Je considère que Lurie répond de manière satisfaisante aux objections que j’ai signalées :

Dieu est bien (∞,1)Cat (plutôt que Cat)

parce que l’opposition entre Cat , exemple archétypique de 2-topos et qui est le plan internel des Idées de Platon dans la version préliminaire de la Science internelle, et de Set, exemple archétypique de topos, plan vital-ontologique dans la même version préliminaire, cette opposition se retrouve point par point entre (∞,1)Cat et ∞Grpd, l’ (∞,1)-catégorie des ∞-groupoides , qui est l’exemple archétypique de (∞,1)-topos, et donc l’analogue de Set dans la version ∞-catégorique de la Science internelle:

https://ncatlab.org/nlab/show/Infinity-Grpd

https://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29Cat

On a le droit de se contenter, pour mathème des Idées, des (∞,1)-catégories, ou théories de l’homotopie (“homotopy theory”) non pas parce que Jacob Lurie et le Nlab le font, mais à cause des explications qu’ils donnent : les k-morphismes non inversibles pour k > 1 peuvent être négligés et élagués, ce qui conduit à considérer (∞,1)Cat, qui est une (∞,2)-catégorie, comme une (∞, 1)-catégorie, c’est à dire comme une Idée : Idée de Dieu, qui est Dieu

Les (∞, n)-catégories peuvent être considérées comme dérivées à partir des (∞,1)-catégories par enrichissements successifs, procédure naïve qui n’est pas satisfaisante pour les n-catégories mais qui l’est pour les (∞,n)-catégories, comme Jacob Lurie l’explique si bien…

Conclusion :

DIEU ≅ (∞,1)Cat

J’utilise le signe ≅ et non le signe de l’égalité stricte = parce que nous sommes dans le monde des ∞-catégories, où l’égalité stricte est généralement remplacée par une notion plus faible d’équivalence (par exemple : à une homotopie près)

Alain Badiou démontre dans “L’Etre et l’événement ” que la mathématique, sous sa guise de théorie axiomatique des ensembles, est ce que la philosophie nomme depuis toujours “ontologie” . Mais son athéisme communiste lui interdit d’aller plus loin :les ensembles sont certes des Idées, pas des étants, mais des Idées du niveau le plus bas, niveau du sol ontologique , en tant que 0-catégories. Badiou refuse de monter au Ciel des Idées de différents niveaux : depuis les 1-catégories, qui sont les catégories, jusqu’aux ∞-catégories, jusqu’à Dieu ≅(∞,1)Cat , qui trône au plus haut des cieux…

Les mathématiciens ces héros de l’Esprit, ne sont pas seulement ontologues, ils sont les véritables théologiens …

Or la mathématique, qui est donc la véritable théologie, progresse sans cesse, donc l’Idée de Dieu, donc Dieu, changera forcément avec les progrès de la Science .

et alors?

Ceci n’est un scandale qu’aux yeux des personnes qui sont encore prisonnières des anciennes conceptions, de Dieu comme Être immuable…

Mais “l’éternité était usée, que voulez vous, il faut bien faire une fin!

https://fr.m.wikisource.org/wiki/Romans_et_Contes_de_Théophile_Gautier/Le_Club_des_Haschischins

Pour trouver un cadre rationnel aux “vérités éternelles qui bougent , qui changent” (comme dans le magnifique film “Agora”) je propose de remplacer “éternité” par “internité” , à laquelle ne ne désespère pas de donner un cadre mathématique dans la Science internelle .

J’ai déjà parlé ici(voir notamment dans cet article ce que dit Emily Riehl des deux approches , “schématique” et “par modèles “)

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/01/19/scienceinternelle-8-∞-cosmoi/

des ∞-cosmoi d’Emily Riehl et Dominic Verity, ∞-cosmoi qui peuvent être conçus comme des “Univers d’Idées ” et dont Cat et (∞,1)Cat sont des exemples privilégiés . Nous voyons donc que les deux Idées mathématiques qui se sont affrontées lors de la Création de Dieu (dans cet article) peuvent se rejoindre dans l’Idée “∞-cosmos”

Mettons que la mathématique puisse nous donner une vision intéressante de la collection de tous les ∞-cosmoi. Ce sera là une nouvelle Idée de Dieu , un Nouveau Dieu et pourtant le même, plus perfectionnée que Cat ou (∞,1)Cat puisqu’elle les comprend…

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