#HigherToposTheory 12: un nouveau guide de lecture de “Higher topos theory” de Jacob Lurie

J’ai déjà parlé de ce forum de discussions du Nlab:

https://nforum.ncatlab.org

sur HTT , le livre de Lurie:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

il y a une discussion:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/01/21/highertopostheory-11-une-carte-routiere-pour-letude-de-higher-topos-theory-de-jacob-lurie/

https://nforum.ncatlab.org/discussion/2748/a-learning-roadmap-for-higher-topos-theory/

On y trouve ce guide de lecture:

https://ncatlab.org/spahn/show/a%20reading%20guide%20to%20HTT

qui préconise de commencer avec l’appendice A2 et le chapitre 1 (overview) en omettant le chapitre 3 justement consacré au plus important de mon point de vue : l’ ∞-catégorie des ∞-catégories , Idée de Dieu.

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/04/16/scienceinternelle-19-recherches-sur-lidee-de-dieu-qui-est-dieu-∞-categorie-des-∞-categories/

L’appendice A1 contient les notions nécessaires de la théorie des catégories. L’appendice A2 porte sur la théorie de Quillen des catégories de modèles (“model categories”) décrite comme “l’une des approches les plus anciennes et les mieux couronnées de succès à la théorie des ∞-catégories”

Un article de ce Hashtag à déjà été consacré à la très importante structure d’André Joyal, structure de “model category” sur la catégorie des ensembles simpliciaux:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/01/21/scienceinternelle-9-highertopostheory-10-la-structure-de-categorie-de-modeles-model-category-sur-la-categorie-des-ensembles-simpliciaux/

Ainsi les ∞-catégories sont précisément les ensembles simpliciaux qui sont des “objets fibrants” dans la structure de Joyal. Voir les axiomes des “model categories” en A.2.1.1 pour l’explication de ces que sont les objets fibrants, cofibrants, liés aux trois classes de morphismes dont doit être munie par définition une “model category” : fibrations, cofibrations et équivalences faibles.voir:

http://www.math.ku.dk/~larsh/teaching/S2007/axioms.pdf

La théorie des “model categories ” peut être considérée comme une approche à celle des catégories multidimensionnelles (“higher category theory”) . Ainsi une “simplicial model category” A (enrichie sur les ensembles simpliciaux):

https://ncatlab.org/nlab/show/simplicial+model+category

aura une sous-catégorie A0 composée des objets fibrants-cofibrants, sous -catégorie qui est une catégorie simplicial et fibrante. Son nerf, noté:

N(A0)

Est alors une ∞-catégorie, qui sera appelée “∞-catégorie sous-jacente à A ”

D’ après le guide, les deux notions importantes de la théorie des catégories sont le nerf et la réalisation, qui sont ici :

https://ncatlab.org/nlab/show/nerve+and+realization

Le nerf d’une catégorie est expliqué dans HTT en Page 9 chapitre 1, celui d’une catégorie simpliciale en Page 22:

https://ncatlab.org/nlab/show/nerve

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Nerve_(category_theory)

Pour une catégorie générale C, son nerf N(C) est donc un ensemble simplicial :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Ensemble_simplicial

C’est à dire une suite d’ensembles indexée par les nombres entiers, ou encore un foncteur contravariant (inversant le sens des flèches) de la catégorie simpliciale Δ vers la catégorie Set des ensembles:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Catégorie_simpliciale

Δop → Set

(On emploie la catégorie opposée Δop pour noter le caractère contravariant du foncteur)

L’ensemble simplicial associé à une catégorie C qui constitue son nerf est construit ainsi : l’ensemble d’index n de N(C)
Est l’ensemble de tous les foncteurs:

[n] → C

où [n] désigne la suite ordonnée {0, 1,…,n} envisagée comme une catégorie de la manière déjà dite (on met une flèche entre a et b si a ≼ b )

Plus simplement l’ensemble d’index n de N(C) est l’ensemble des suites de n flèches composables dans C:

C0 → C1 → …. → Cn

Signalons Page 9 (livre papier ) de HTT la proposition 1.1.2.2 très utile, qui donne une condition nécessaire et suffisante (sous forme d’existence d’une flèche unique faisant commuter un diagramme) pour qu’un ensemble simplicial K soit isomorphe (dans la catégorie des ensembles simpliciaux) au nerf N(C) d’une catégorie C.

Mais sur le forum de discussions:

https://nforum.ncatlab.org/discussion/2748/a-learning-roadmap-for-higher-topos-theory/

Stephan A Spahn , créateur du guide de lecture, lance une discussion intéressante , sur le choix que fait Lurie des ensembles simpliciaux plutôt que des catégories simpliciales, qu’il qualifie de “trop rigides” en début de l’annexe A3:

Among the many different models for higher category theory, the theory of simplicial categories is perhaps the most rigid. This can be either a curse or a blessing, depending on the situation. For the most part, we have chosen to use the less rigid theory of ∞-categories (see §1.1.2)

Cela tient selon la réponse au caractère strict de l’associativité de la composition “horizontale” des n-morphismes:

What is rigid about simplicial categories is that in them the horizontal composition of n-morphisms is strictly associative.

It may be helpful to consider this for the case that the
∞-category has a single object. Then in general the hom-space of the single point is an A-infinity space: composition is associative only up to higher coherent homotopy. But if once you pick a model of this by a simplicial category, it suddenly becomes an ordinary monoid, with strictly associative product.

This is maybe most familiar in the case that the
∞-category is in fact an
∞-groupoid with a single object: then in general the hom-space of the single object is an infinity-group, but once you pick a presentation by a simplicial category, it becomes an ordinary simplicial group.

On the other hand, if you model the
∞-category by a simplicial set, a quasi-category, then there is no such strictification going on. In that case there is not even a notion of “horizontal composition” in general, at least not without further work and further choices.

So this is what makes simplicial categories a strict and easy model for ∞-category theory. What makes them, on the other hand, a difficult model is that they are in general far from being cofibrant

Ce qui fait l’intérêt des n-catégories est que l’on peut “relâcher” de plusieurs manières et degrés le caractère d’égalité stricte (=) dans les définitions des propriétés .

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