#ScienceInternelle #HomotopyTypeTheory pourquoi cette importance cruciale de l’homotopie ?

Nous avons rencontré déjà à plusieurs reprises , dans nos articles du Hashtag #ScienceInternelle , #HigherToposTheory ou #HomotopyTypeTheory la notion de l’homotopie et je me suis posé la question de l’explication de cette omniprésence, dans le récent article:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/06/06/y-a-til-une-bulle-de-homotopytypetheory/

en parlant d’une sorte d’intuition qui m’amenait à attendre beaucoup de ce domaine récemment ouvert appelé “Homotopy type theory” …

en fait l’homotopie ne se limite pas au cas classique des espaces topologiques :

https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+theory

elle peut être vue comme une équivalence de déformations continues de morphismes, et appelle la notion d’homotopie d’homotopies, et ainsi de suite…or nous avons considéré dès le début les morphismes , qui caractérisent la théorie des catégories par rapport à celle des ensembles (un ensemble étant une catégorie sans morphismes) comme introduction de relations, de liens, donc d’unification , nous conduisant à voir l’Idée de l’Un, sommet de la vie spirituelle qu’André Simha observe dans ce qu’il appelle “la loi suprême d’unité ” chez Brunschvicg, dans la (méta)catégorie CAT de toutes les catégories:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/22/premiere-pierre-pour-une-nouvelle-science-internelle-mathesis-universalis-lidee-de-lun/

Et l’Idée de l’Etre dans la catégorie Set des ensembles.

D’où les deux formes de mathématiques, catégoriques et ensemblistes , associées à ce que nous avons appelé les deux plans en dualité:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/03/15/les-deux-theories-mathematiques-privilegiees-par-badiou-topoi-et-ensembles-correspondant-aux-deux-plans-vital-ontologique-et-spirituel/

Ainsi qu’à deux conceptions de l’universel: concret-catégorique, où un universel est un objet qui représente la Perfection d’une propriété (ainsi le Christ représente la Perfection de l’humanité) et abstrait-ensembliste où un universel est un ensemble:

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/deux-universalismes-concret-categorique-henologique-et-abstrait-ensembliste-ontologique/

C’est la conception catégorique qui prévaut dans la Science internelle, où cette conception est associée au plan internel-spirituel. Aussi l’Un ne saurait être un Être ou un ensemble (comme dans les formes de pensée inférieures, identifiant le Dieu qui est à l’Un comme dans l’islam ou bien l’humanité universelle à l’ensemble des humains qui prennent parti pour l’internationalisme prolétarien comme dans le communisme ou bien à la race aryenne comme dans le nazisme).

L’Un est, dans la Science internelle, un opérateur radicalement immanent à l’esprit humain qui “agit” partout et toujours (dans ce que Marie-Anne Cochet appelle le “Présent éternel” , c’est à dire le plan internel) et, comme on le voit dans l’article du Hashtag #ScienceInternelle dont le lien est donné quelques lignes plus haut, cet opérateur n’est autre que le morphisme-identité qui opère sur tout objet de la théorie des catégories, de par les axiomes de la théorie. L’Un est immanent au jugement humain, c’est là la conception exactement opposée à celle de l’Un séparé, Transcendant, qui est celle des vieilles métaphysiques religieuses d’avant la Science, et d’avant la ligne de démarcation des Temps du cartésianisme:

https://renatuscartesiusmathesisuniversalis.wordpress.com/descartes-la-ligne-de-demarcation-des-temps/

Léon Brunschvicg , dans “Vraie et fausse conversion”:

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/vraie_et_fausse_conversion/vraie_et_fausse_conversion.html

oppose les deux Idées de l’être et de l’Un, l’oncologie et l’hénologie, dans des lignes d’une densité extraordinaire, qui se situent au premier chapitre et datent de 1930:

La première précaution à prendre, quand on aborde le problème de la raison, c’est de ne pas faire de l’éléatisme une solution ; le point de départ devra être, au contraire, la rupture de cette solution apparente par l’argumentation « parricide » du Parménide platonicien. Dans la réalité de l’histoire, c’est contre l’éléatisme, et non par lui, que la philosophie rationaliste s’est développée, du jour où la dialectique a mis en évidence l’impossibilité de maintenir simultanément l’affirmation de l’Un en tant qu’être et de l’Un en tant qu’un. En dépit de l’adage, ens et unum non convertuntur. Il est manifeste, en effet, que le, type des « jugements de relation, » : l’Un est un, est orienté à l’inverse exactement du type des « jugements d’existence » : l’Un est. Les deux types de jugement, sous la forme d’absolu où Platon les considère, se détruisent, non pas par leur opposition réciproque seulement, mais aussi chacun pour soi : « L’Être, ajouté à l’Un, comme un prédicat qui lui serait extérieur et transcendant, introduit la dualité, par suite la contradiction, dans ce qui a pour définition essentielle d’être un, tandis que la relation de l’Unité à l’Un maintient l’affirmation de l’Un dans la sphère de l’implicite et de l’immanent, lui interdit comme une altération de son identité radicale avec soi-même toute manifestation au dehors, toute production de ce qui serait autre que le même, fût-ce la perception, la dénomination, la connaissance même. Conclusion qui se confirme par un système curieux d’équivalence entre la position de l’Être de l’Un et la négation de l’Unité de l’Un, entre la position de l’Unité de l’Un et la négation de l’Être de l’Un . »

Les méditations de Badiou qui lancent la machine de “L’Etre et l’événement” (1988) portent aussi sur le Parménide de Platon et évoquent ces “tourniquets du Parménide qui nous exposent à la volupté de ne jamais pouvoir conclure”. Mais Badiou conclut en répétant les conclusions de Brunschvicg , sans jamais le citer nommément (ca ferait un peu désordre dans son beau jardin à la française matérialiste et communiste, de citer le dernier Maître des Temps maudits, car idéalistes, de la philosophie, avant 1945) :

“L’Un n’est pas”

Badiou poursuit: L’un n’est pas un être, mais une opération: le “compte-pour-un” de la théorie des ensembles. Seulement Badiou, on se demande bien pourquoi, en reste à la théorie des ensembles, et se refuse absolument à reconnaître que les ensembles ne sont qu’un cas particulier des catégories (un ensemble est une catégorie sans morphismes) et “tous les ensembles” envisagés comme une collection unifiée ne forment pas un ensemble (paradoxe de Russell) mais une catégorie , qui est aussi un topos: L’être n’est pas un “étant” mais une Idée.

J’ai dit “on se demande bien pourquoi” mais en fait on sait très bien pourquoi : c’est que la pensée de Badiou est idéologique et se veut violemment athée, au nom de l’Idée communiste. Il a besoin de se limiter aux ensembles, afin d’en rester à l’universalisme abstrait du compte-pour-un ensembliste et de ne surtout pas courir le risque de dériver vers l’universalisme catégorique, dont nous avons vu qu’il s’approche de certaine conceptions chrétiennes ( puisque Jésus-Christ incarne la Perfection de l’humanité , donc l’universel de l’humain au sens de l’universalisme catégorique)

L y a un autre philosophe, qui vivait au 19eme siècle, absolument méconnu mais fort prisé de Brunschvicg qui a préfacé la réédition au 20 eme siècle de ses “Esquisses de philosophie critique” :

http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k78015c/f1.image

Ce philosophe est African Spir (1837-1890) :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Afrikan_Spir

dont il est assuré qu’il était un disciple de Wronski, et aussi très admiré par Tolstoi et Rudolf Steiner

https://apodictiquemessianique.wordpress.com/spir-wronski-et-brunschvicg/

Spir oppose la pensée à la nature en montrant que l’identité ( A= A) est une loi fondamentale de la pensée (c’est exactement l’opération de l’Un, ou morphisme-identité, dans la théorie des catégories) qui est démentie dans le monde où tout est changement incessant : nous avons l’illusion d’une stabilité des objets de notre connaissance (à commencer par nous mêmes ) mais en fait nous vieillissons et changeons à chaque instant et la notion métaphysique de “substance” stable doit rester métaphysique , et non pas descendre dans le physique. Ces considérations n’invalident d’ailleurs pas la loi suprême d’unité qui est la norme de la pensée, parce que le plan internel de l’Idée prédomine sur le plan physique ( et c’est d’ailleurs là l’explication de la “déraisonnable efficacité des mathématiques en physique”):

Il y a une mesure des choses; et cette mesure n’est point la nature physique, mais la loi de notre pensée. La nature physique apparait anormale et contingente; la loi de la pensée est par définition normale et absolue. C’est elle qui constitue le critère premier et dernier. contre elle l’expérience ne peut rien : toute science même expérimentale n’est elle pas fondée sur le principe de contradiction ? et qu’est ce autre chose que ce principe sinon le substratum de la loi de la pensée ? l’induction suppose que l’Etre peut être expliqué ou construit par le savoir; et cette idée postule déjà l’existence de l’Absolu.

Seulement, et c’est là qu’intervient la théorie des ∞-catégories et l'”homotopy type theory” (qui sont si proches parce qu’elles sont les disciplines mathématiques de la Pensée -de -l’un ou plutôt Pensée-en-Un ) la conception grossière (grossière parce qu’issue des illusions primitives du plan vital) de l’identité stable et de la fixité absolue peut et doit être remplacée par des formes de pensée mathématiques plus subtiles, comme la notion d’isomorphisme et d’équivalence et ses formes “affaiblies” , comme l’équivalence à une homotopie près. C’est là tout l’enjeu de la théorie des ∞-catégories et de l'”homotopy type theory” .

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