Axiomatic cohesion in HOTT

J’ai déjà parlé de cet article de blog, qui fait le lien entre les travaux de Lawvere sur “axiomatic cohesion “et l’homotopy type theory, à laquelle est associée de manière solidela théorie des ∞-catégories et ∞-topoi:

Axiomatic cohesion in HoTT

La correspondance est étudiée par le biais de la notion de langage interne qui est bien connue pour ce qui est des topoi ordinaires sous le nom de “langage de Mitchell-Benabou” et associée à la théorie extensinnelle des types :

https://ncatlab.org/nlab/show/extensional+type+theory

qui est une des “versions” ou “variantes” de la théorie des types de Martin-Lof, nouvelle fondation des mathématiques:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Intuitionistic_type_theory

https://ncatlab.org/nlab/show/Mitchell-Bénabou+language

language interne où les objets d’un topos s’identifient aux types.

Les chercheurs de pointe dans le domaine de HoTT , comme Mike Schulman rédacteur de l’article, pensent que certains des (∞,1)-topoi de Lurie peuvent être identifiés aux topoi cohésifs de Schreiber, eux mêmes généralisation aux (∞,1)-topoi , qui unifiés “tous ensembles” en une catégorie forment l’univers ∞Gpd de tous les (∞,1)-topoi, exemple paradigmatique de ∞-topos et qui est indiscutablement une Idée, des “topos cohésifs” de Lawvere que nous avons déjà rencontré à propos des travaux de Wronski:

https://tractatustoposophicus.wordpress.com/2012/11/14/les-trois-elements-primitifs-de-wronski-et-les-topoi-cohesifs/

http://mathesisuniversalis.over-blog.com/article-les-topoi-cohesifs-104391835.html

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2012/04/25/la-loi-de-creation-de-wronski-et-la-theorie-des-categories/

Nous partons donc d’une situation largement étudiée par Lawvere de quadruplets d’adjonctions de foncteurs

https://ncatlab.org/nlab/show/cohesive+topos

seulement Lawvere est obsédé par l’hégélianisme (à cause de son communisme, peut être, les USA sous TRUMP sont vraiment démocratiques et il n’y a plus aucun danger à préciser ce genre de choses) et sa dialectique (unité des contraires) , ce qui gâte un peu sa pensée, dialectique refusée par Brunschvicg et donc par nous (il y a le même problème en France, pire encore, avec Badiou) .
“Théorie ” des topoi cohésifs qui se transmet aux (∞,1)-topoi:

https://ncatlab.org/nlab/show/cohesive+(infinity,1)-topos

(Sans la dialectique? Espérons le!)

Cet article de Mike Schulman est une véritable mine d’or, une base opérationnelle pour nous lancer dans HoTT.

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