Les travaux de William Lawvere sur les topos cohésifs 1

La page correspondante est là:

https://ncatlab.org/nlab/show/cohesive+topos

Les problèmes du multiple et de l’Un trouvent leur cadre idéal dans ce schéma, voir:

http://mathesisuniversalis.over-blog.com/article-les-topoi-cohesifs-104391835.html

Des exemples de topoi cohésifs sont donnés par la Page du Nlab, notamment la catégorie RDGRaph des graphes dirigés et celle utilisée largement dans le livre de Jacob Lurie, des ensembles simpliciaux (simplicial sets) notée sSet
La propriété étudiée axiomatiquement par Lawvere se présente empiriquement sous la forme d’un quadruplet d’adjonctions , aussi étudié par Lawvere :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+quadruple

(Π0⊣Disc⊣Γ⊣Codisc)

où Γ est un foncteur appelé “section globale ” :

Ε —–> Set

Envoyant un espace X sur la multiplicité pure de ses “points” :

Γ(X)

qui est un ensemble , un objet de Set donc

(E est un topos cohésif sur Set , propriété qui sera axiomatisée par Lawvere, envisagé comme un gros topos” ayant pour objets des espaces)

La Page :

https://ncatlab.org/nlab/show/motivation+for+cohesive+toposes

expliqué tout cela, sur une base non technique.

Γ(X) est ainsi la même chose que l’espace X (objet dû topos cohésif E) mais “toute cohésion oubliée” , que celle ci soit assurée par une topologie ou tout autre structure “smooth” ce qui veut dire dérivable.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Smooth_structure

Nous avons donc bien une “multiplicité pure “, c’est à dire un objet de Set , topos de l’être, du plan vital , sans relation (structure) venant installer “du lien”, de l’intelligibilité.

Le foncteur Γ possède un foncteur adjoint à gauche Disc et un adjoint à droite Codisc, respectivement associés à la structure discrète et à la structure codiscrète , voir par exemple le cas où la structure en question est topologique:

https://ncatlab.org/nlab/show/discrete+and+codiscrete+topology

Lawvere est très influencé par le philosophie de Hegel dans ” La Science de la logique ” et trouve dans la théorie des topos un moyen de formaliser mathématiquement cette pensée dans ses arcanes les plus périlleux, en particulier ” l’unité des contraires” chez Hegel (unité des opposés qui remonte à Jacob Boehme):

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+modality

Il trouve cette formalisation dans le concept, plus fort que celui d’adjonction, de cylindre adjoint ou “modalité adjointe” (voir Page ci dessus) c’est à dire une adjonction entre monades idempotentes :

https://ncatlab.org/nlab/show/idempotent+monad

Rappelons que, sous l’influence des travaux de David Ellerman, nous avons accordé une grande importance à la notion d’adjonction dans les travaux préliminaires à ce blog:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/tag/adjonction/

mais l’idée formée par. Lawvere est encore plus forte et le conduit à ce qu’il appelle, sous l’influence de Hegel, une “catégorie de l’être”:

https://ncatlab.org/nlab/show/category+of+being

C’est à dire quelque chose de plus haut que la Mathesis mais qui peut être formalisé mathématiquement sous la forme d’une catégorie équipée d’une “adjonction de modalité” (adjoint modality) .

Le quatrième foncteur du “quadruplet d’ejonctions” est adjoint à gauche du foncteur Disc c’est le foncteur:

Π0 : E ——-> Set

c’est le foncteur qui associe à un espace X ses “composantes connectées”:

https://ncatlab.org/nlab/show/connected+topos

Lawvere axiomatise ensuite ces propriétés en paragraphe 2 de la Page sur les topos cohésifs:

https://ncatlab.org/nlab/show/cohesive+topos

Le topos de base n’est plus forcément Set et un topos est dit cohésif s’il est fortement connecté et local (voir “fondamental axioms”) ce qui revient là encore à l’existence d’un quadruplet d’adjonctions :

(f!⊣f∗⊣f∗⊣f!):E ——–> S

Le sous -paragraphe intitulé “Transformation from points to pieces ” généralise (axiomatise) la propriété sur la multiplicité pure des points et celle des composantes connectées, et permet de définir (d’imposer) au sous-paragraphe suivant des “Further axioms”, qui sont proposés par Lawvere dans l’article “Axiomatic cohésion”:

http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/19/3/19-03.pdf

Mais dans le cas d’un penseur (Lawvere) pour lequel la philosophie hégélienne jour un rôle aussi important, il apparaît utile, voire nécessaire , de revenir aux schémas plus généraux de la Page hégélienne sur l’unité des opposés :

https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+modality

Nous y reviendrons car on ne saurait trop souligner l’exceptionnelle importance des travaux de Laxvere du point de vue de ce blog, même si le vocabulaire utilisé, de provenance hégélienne et donc portant sur l’être (being) semble en désaccord avec la thèse de l’Ouvert comme dualité radicale.

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