(∞,1)-topos cohésifs

L’article d’origine est toujours celui du blog “Homotopy type theory”:

Axiomatic cohesion in HoTT

et la Page Nlab :

https://ncatlab.org/nlab/show/cohesive+(infinity,1)-topos#AsAPointLikeSpace

william Lawvere a surtout insisté sur le théorie des topos, c’est à dire des 1-topos, ses travaux subissent une évoluton pour valider l’idée d’∞-topos , et le 1-topos paradigmatique Set (qui est ici le cadre du multiple pur) est remplacé par l’∞-topos : ∞Grpd :

https://ncatlab.org/nlab/show/Infinity-Grpd

C’est à dire l’∞-catégorie des (∞,1)-goupoides qui est l’exemple paradigmatique d’∞-topos qui est l’analogie de Set dans le cadre ∞-catégorique.

Comme dans le cas des 1-topos, cela constitue un quadruples d’adjonctions:

Π⊣Disc⊣Γ⊣coDisc): H ——> ∞Grpd

où H est le “candidat” pour le rôle de l’∞-topos cohésif.

le foncteur “section globale ” devient un (∞,1)-foncteur qui est un (∞,1)-morphisme géométrique :

https://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29-geometric+morphism

Et les ∞-foncteurs
Disc et Codisc doivent être pleins et fidèles en tant qu’∞-foncteurs (cela signifie que les fonctions correspondantes sur les flèches doivent être surjectives et injectives)
Il est en plus requis du quatrième foncteur Π du quadrupler de préserver les (∞,1)-produits, qui sont un exemple d'(∞,1)-limite:

https://ncatlab.org/nlab/show/%28∞%2C1%29-limit

La modélisation mathématique découverte par Lawvere de la “Science de la logique ” hégélienne :

https://ncatlab.org/nlab/show/Science+of+Logic

demeure valable dans le cadre des ∞-topos

Mathématiquement, l’existence du quadrupler d’adjonctions signifie que l’∞-topos cohésif H comporte une riche palette de géométries , qui incluent la théorie de Galois, de Lie et la Page du Nlab Donne six exemples pour H, qui sont toutes des sous-catégories de ∞Grpd.

La définition est ensuite axiomatisée sur n’importe quel ∞-topos de base, mais nous supposerons toujours que celui ci est

∞Grpd, ∞-topos des ∞-groupoides.

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