Identités constructives pour la physique 1: Hilbert, Lawvere, Schreiber et HoTT

Ce travail d’Andrei Rodin:

http://ffp14.cpt.univ-mrs.fr/DOCUMENTS/SLIDES/RODIN_Andrei.pdf

qui date de 2014, aborde des points que nous avons commencé à traiter ici, en particulier les travaux de Lawvere sur l’axiomatisation, et ceux d’Urs Schreiber et Voevodsky en liaison avec HoTT (univalent foundations)

Un autre travail d’ Andrei Rodin est plus versé sur Lawvere et la dialectique hégélienne :

http://philomatica.org/wp-content/uploads/2013/01/dialectics.pdf

Les deux sont des “slides”, des notes pour conférence, aussi le volume réel de texte est il moindre que le nombre de pages annoncé (respectivement 75 et 30)

Nous parlerons surtout ici du premier de ces travaux ,et encore du début de cette conférence, qui confirme notre attitude tournée vers HoTT (“homotopy type theory”), sinon pour souligner (Page 7 sur 30) qu’Andrei Rodin s’efforce de montrer dans le second travail que contrairement aux apparences, les “remarques hégéliennes” disséminées au milieu des travaux mathématiques de Lawvere ne sont pas un simple “effet de mode” , ni ne reflètent un engagement peu profond , de type politique, mais qu’au contraire la logique philosophique de Hegel mène (“drives”) la totalité de la recherche de Lawvere en logique catégorique.

Andrei Rodin fait donc remonter fort justement l’idée d’axiomatisation de la physique au problème numéro 6 défini par Hilbert en 1900 :

“Traiter par des axiomes les sciences physiques où les mathématiques jouent un rôle important ”

Léo Corry fait remarquer en 2004 que c’est le seul problème où Hilbert s’est engagé à fond de 1894 à 1932.

Dans cette voie Lawvere a proposé de fonder les mathématiques sur la théorie des topos et de construire selon une voie synthétique l’axiomatisation de la physique à l’intérieur même de la théorie des topos, en imposant à un topos des propriétés
Garantissant que les objets ont une structure d’espaces géométriques différentiels et en formalisant la mécanique classique selon cette voie par des constructions universelles, ce qui fait référence au travail de 1997 de Lawvere:

http://www.acsu.buffalo.edu/~wlawvere/ToposMotion.pdf

Néanmoins cette approche n’est selon Andrei Rodin “pas tout à fait satisfaisante” pour deux raisons :

1 les mathématiciens contemporains préfèrent fonder leur discipline sur les topos multidimensionnels (“higher topos theory” ) par le biais notamment de HoTT

2 la physique moderne (après les découvertes de Planck ) nécessite de dépasser la mécanique classique ( pour les petites échelles de distance ce qui équivaut aux grandes énergies) par la mécanique quantique

Les premier point conforte l’idée de ce blog de passer des 1-topos aux ∞-topos et de regarder avec intérêt la recherche contemporaine dans le domaine de HoTT.

https://homotopytypetheory.org

Ce qui revient à passer à l’étape 3 , celle de Schreiber (pages 13 et 14 sur 75) ,c’est à dire à dépasser la géométrie différentielle synthétique, axiomatisée par la théorie des topos de Lawvere, vers la “higher différentiel geometry ” axiomatisée par la théorie des topos multidimensionnels (“higher topos theory”) en utilisant les axiomes de HoTT.

L’affirmation (“claim”) de la Page 15 sur 75 nous convient parfaitement, et nous rappelle le prévention de Brunschvicg vis à vis de travaux donnant la prédominance à la logique ( ceux de Russell notamment) et donc à la philosophie “descendante” , alors que la Mathesis est orientée en sens inverse, depuis le plan vital vers le plan internel.

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