#HoTT #HigherToposTheory Quillen model categories

Ce papier titré “Procategories and homotopy theory”:

http://geoffroy.horel.org/Pro-categories.pdf

Démarre en soulignant l’importance des “model categories ” de Quillen comme langage de la théorie de l’homotopie et donc pour HoTT.

Cette notion , et ce langage, est étudiée dans “Higher topos theory” de Jacob Lurie en appendice A2 Page 803 (livre papier) et son rôle, pour ce qui est de la théorie des “higher categories” est double :

-les structures dont on se sert pour décrire les “higher categories” sont organisées en “model categories” : ainsi les

∞-categories sont les ensembles simpliciaux qui sont fibrants respectivement à la “model structure” de Joyal:

https://ncatlab.org/nlab/show/model+structure+for+quasi-categories

https://ncatlab.org/nlab/show/model+structure+on+simplicial+sets

La Page des Quillen model categories est ici :

https://ncatlab.org/nlab/show/model+category

Ces “model categories ” sont définies axiomatiquement en appendice À. 2. 1 du livre de Lurie , et ces axiomes qui distinguent trois sous-classes de morphismes fibrations cofibrations et équivalences faibles , sont rappelés dans la Page ci dessus, associées à leur rôle pour l’homotopie.
Toute catégorie munie de limites et de colimites peut être considérée comme douée d’une structure dite “triviale” de “model category”, où les équivalences faibles sont les isomorphismes , et où tout morphisme est vu comme fibration et cofibration.
À toute “model category” peut être associée ce qu’on appelle son “Homotopy category” notée Ho(C) ( appendice A.2.2 du livre de Lurie):

https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+category+of+a+model+category

et cette construction existe pour toute catégories avec des équivalences faibles:

https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+category

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