#HigherToposTheory 15 : fibrations d’ensembles simpliciaux

Tout le chapitre 2 du livre de Lurie, qui est lisible ici:

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

(J’utilise pour ma part la version sur papier, la pagination peut être différente)

est consacré aux fibrations, terme que nous avons déjà croisé à plusieurs reprises : ainsi chez Joyal ce sont les morphismes de “structures de tribus” (Page 13):

https://ncatlab.org/homotopytypetheory/files/Joyal.pdf

Les ensembles simpliciaux :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Ensemble_simplicial

sont des foncteurs dirigés vers la catégorie Set, topos des ensembles:

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/2016/01/13/jacob-lurie-higher-topos-theory-categories-topologiques-et-ensembles-simpliciaux/

https://tractatustoposophicus.wordpress.com/2012/11/18/ensembles-simpliciaux-et-globulaires/

des préfaisceaux :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Préfaisceau

donc leur catégorie Sset est un topos: ( c’est une règle heuristique qu’une catégorie de préfaisceaux = presheaves ayant pour cible un topos est un topos, or dans le cas qui nous occupe Set est un topos)

https://ncatlab.org/nlab/show/simplicial+set

Le chapitre 2 du livre de Lurie présente plusieurs notions de fibrations qui sont ordonnées par implications (non réversibles) dans le tableau 2.0.0.0.5 Page 54 (la version papier)

Ainsi pour un morphisme d’ensembles simpliciaux

f : X → S

être une fibration de Kan implique être une fibration à gauche (resp. À droite) et une fibration co-cartésienne ( resp. Cartésienne ) et enfin être une “inner fibration”:

https://ncatlab.org/nlab/show/Kan+fibration

https://ncatlab.org/nlab/show/right%2Fleft+Kan+fibration

https://ncatlab.org/nlab/show/inner+fibration

Tout ceci a une relation étroite avec la structure de catégorie modèle (model category) qui peut être donnée à la catégorie Sset des ensembles simpliciaux:

https://ncatlab.org/nlab/show/model+structure+on+simplicial+sets

Il y a (voir la Page) deux structures de “model category” qui peuvent être données : classique et structure de Joyal

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