#∞-cosmoi : nouveau travail de Dominic Verity et Emily Riehl : “The comprehension construction”

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/comprehension.pdf

Les ∞-cosmoi doivent être vus comme des “Univers d’Idées”, puisque les objets de ces catégories simpliciale sont pas définition les ∞-catégories, qui sont ici les Idées, ou les mathèmes d’Idées . Il existe plusieurs exemples précis d’ ∞-cosmoi : comme les quasi-catégories où les catégories de Segal ou les “espaces complets de Segal” , qui sont des modèles d'(∞, 1)-catégories ( l’exemple 2.1.4 parle d’un ∞-cosmos dont les objets sont des “objets de Rezk”, modèles d’ (∞, n)-catégories). Ces derniers ∞-cosmoi (dont les objets sont des modèles d'(∞,1)-catégories) sont notés respectivement qCat, CSS, et Segal

Un ∞-cosmos est une catégorie simpliciale, enrichie sur Sset catégorie des ensembles simpliciaux :

https://ncatlab.org/nlab/show/simplicial+category

https://ncatlab.org/nlab/show/enriched+category

https://ncatlab.org/nlab/show/simplicial+set

Un ∞-cosmos a une 1-catégorie sous-jacente et une “homotopy 2-category” , étudiées au paragraphe 2.

Voici un article d’Emily Riehl sur “n-category café” à propos de ce travail:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2017/07/what_is_the_comprehension_cons.html

Le schéma de la “compréhension” , en théorie des ensembles, est qu’étant donné une formule propositionnelle, dépendant d’une variable x prenant ses valeurs sur un ensemble À, il existe un sous-ensemble de A constitué des valeurs de x pour lesquelles la formule est satisfaite.

Par généralisation abstractive on obtient la théorie des topos élémentaires:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Topos

Ce que l’on appelle “construction de Grothendieck”:

https://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+construction

Est alors la généralisation de cette notion de la compréhension , valable pour Set, à la catégorie Cat de toutes les catégories

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