Catégories internes ( internal category theory)

Une catégorie peut être définie par la donnée d’un ensemble d’objets O et d’un ensemble de morphismes M et de flèches entre ces ensembles :

O → M associant à un objet son morphismes identité

M × M → M (loi de composition des morphismes)

M → O associant à un morphisme son objet source

et

M → O associant à un morphisme son objet cible

avec des diagrammes commutatifs, comme indiqué sur la Page Nlab qui suit.

Si ces objets et ces flèches ne sont plus dans la catégorie Set mais dans une autre catégorie C , la catégorie est dite interne à C:

https://ncatlab.org/nlab/show/internal+category

Dans le premier cas, toute catégorie est définie de manière interne à la catégorie Set des ensembles, exemple paradigmatique de topos, mathème du “plan ontologique” , qui joue donc un rôle particulier : comme dit Descartes, pour penser il faut être. C’est aussi le plan physique des objets, des corps, dans un espace de Chu, représenté par les lignes de la matrice constituée par un tel espace. Mais la théorie des catégories internes permet de s’affranchir de ce plancher, de ce sol ontologique.

Il existe un interdit, dans la théorie des catégories, semblable à celui qui proscrit l’existence d’un ensemble qui s’appartienne à lui même : une catégorie interne à elle même ne peut exister:

https://mathesismessianisme.wordpress.com/2015/05/01/une-categorie-interne-a-elle-meme/

La théorie des catégories internes est étroitement associée aux percées de la théorie homotopique des types (HoTT) :

https://ncatlab.org/nlab/show/internal+category+in+homotopy+type+theory#AhrensKapulkinShulman13

Advertisements
This entry was posted in ∞-catégories, category theory, Chu spaces, Higher category theory, homotopy type theory, Théorie des ensembles (set theory), Théorie des topoi (topos theory). Bookmark the permalink.