#HoTT : André Joyal weak factorisation system

Deux liens sur les deux wikis de la théorie des catégories:

https://ncatlab.org/joyalscatlab/published/Weak+factorisation+systems

https://ncatlab.org/nlab/show/weak+factorization+system

André Joyal explique aussi la notion dans ses notes, par exemple Page 34 et 35 de :

http://www.math.uwaterloo.ca/~asl2013/Slides/Joyal.pdf

qui a été étudiée ici :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/10/14/andre-joyal-hott-tribus-et-⊓-tribus/

Page 34 de la note de Joyal est expliquée la relation ⋔ entre deux morphismes d’une catégorie. On dit que :

u ⋔ f

Ssi (si et seulement si : pour tout carré commutatif sur le modèle de la Page 34, il existe un morphisme diagonal d rendant le diagramme total commutatif.
On dit que dans la relation u ⋔ f le morphisme u ( qui est à gauche) possède la «  left lifting property » par rapport à f et f possède la « right lifting property «  par rapport à u

Page 35 : étant donnée une classe S de morphismes de la catégorie C on note la classe des morphismes f ayant la « right lifting property » par rapport à un morphisme u de S:

S

Et symétriquement la classe des morphismes u ayant la « left lifting property » par rapport à un morphisme f de S:

S

J’utilise une autre notation que le texte de Joyal car je ne sais pas comment représenter la sienne.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Factorization_system

Page 35 de Joyal : un « weak factorisation system » est une paire L et R de classes de morphismes dans une catégorie C telles que :

R = L

et

L= R

et (deuxième condition) :

Toute flèche f de la catégorie C admet une factorisation:

f= pu

Où u est un morphisme de L et p un morphisme de R

Un article d’Emily Riehl sur cette idée:

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/factorization.pdf

et un article de Gambino et Garner associant un « weak factorisation system » à tout « identity type »:

https://arxiv.org/abs/0803.4349

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