(∞,n)-catégories et (∞, 1)-catégories

Jusqu’ici nous en sommes restés aux (∞,1)-catégories en les identifiant aux ∞-catégories, parce que pour le moment la recherche se limite à ce cas là , plus facile à traiter : rappelons que les (∞, 1)-catégories sont telles que les k-morphismes sont des isomorphismes (des flèches inversibles) pour k ≿ 1

Les ∞-groupoides sont les (∞,0)-catégories

Toutes les (petites, c’est à dire que les k-morphismes forment des ensembles, et non des classes) (∞,1)-catégories forment une (∞,2)-catégorie qui peut aussi être vue comme une (∞,1)-catégorie appelée (∞,1)Cat:

https://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2C1%29Cat

C’est une sous-catégorie de ∞Grpd, ∞-catégorie des ∞-groupoides , qui est l’exemple paradigmatique pour un ∞-topos, l’analogue du 1-topos Set dans le monde des catégories ordinaires, les 1-catégories:

https://ncatlab.org/nlab/show/Infinity-Grpd

Les pages Nlab ci dessus parlent d’incarnations à propos de (∞,1)Cat et ∞Grpd c’est une terminologie heureuse car nous considérons ici ces deux objets mathématiques comme des Idées (mathématiques ) respectivement de l’Un et de l’Etre dans le monde des ∞-catégories:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/04/16/scienceinternelle-19-recherches-sur-lidee-de-dieu-qui-est-dieu-∞-categorie-des-∞-categories/

Ce sont les analogues de CAT et Set dans le monde des catégories ordinaires ou 1-catégories :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/22/premiere-pierre-pour-une-nouvelle-science-internelle-mathesis-universalis-lidee-de-lun/

Cependant il faut poursuivre la recherche et l’étendre aux (∞,n)-catégories :

https://ncatlab.org/nlab/show/%28infinity%2Cn%29-category

Qui selon le paragraphe 1 ( Idea ) constituent une généralisation commune aux 1-catégories, 2-catégories, 3-catégories, 4- catégories ainsi qu’aux ∞- groupoides qui sont les types d’ homotopie :

https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+type

ainsi qu’aux (∞,1)-catégories , et à la théorie dirigée des types homotopiques ( directed homotopy type theory):

https://ncatlab.org/nlab/show/directed+homotopy+type+theory

Les (∞,n)- catégories forment une (∞,1)-catégorie:

https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/11/the_1category_of_ncategories.html

Le lien donné à cette adresse ne marche pas, essayer plutôt sur Arxiv:

https://arxiv.org/pdf/1112.0040.pdf

La direction choisie ici consiste à faire tendre n vers l’infini pour une (∞,n)-catégorie et à considérer que les ∞-catégories sont le domaine hypothétique car non encore exploré à cette heure des (∞,∞)-catégories.

https://ncatlab.org/nlab/show/infinity-category

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