Le lemme de Yoneda et la « connaissance par limite » chez Lacuria

Le lemme de Yoneda est un des premiers résultats significatifs de la théorie des catégories, tous les manuels d’introduction le présentent et insistent sur son importance mais Emily Riehl est celle qui va le plus loin en déclarant dans son livre « Category theory in context » Page 50 (de l’édition Dover)

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/context.pdf

« The Yoneda lemma is arguably the most important result in category theory »

L’un des premiers et les plus simples, mais l’un des plus importants résultats, dans toute la théorie des catégories, et donc de toutes les mathématiques. Il est associé à la notion de « propriété universelle » qui est le thème privilégié de la théorie des catégories.

Que dit techniquement le lemme « élémentaire mais profond et central » ?

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Lemme_de_Yoneda

https://ncatlab.org/nlab/show/Yoneda+lemma

A tout objet A de La catégories C on associe un foncteur dirigé de C vers Set par :

hA ( X) = Hom ( A,X)

hA (f) = (g → f°g )

« Tout morphisme de A dans B dans la catégorie
C induit une transformation naturelle de hB dans hA. Le lemme de Yoneda affirme que toute transformation naturelle de hB dans hA est de cette forme ; mieux, il caractérise l’ensemble des transformations naturelles de hA dans n’importe quel foncteur de
C dans  Set »

Pour tous objets A et B de la catégorie C on a la formule (cliquer pour voir la formule)

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c329cee8bf7fbff99a345edf764cea361ba0c227

Mais ce n’est qu’un cas particulier, et il est vrai que pour tout foncteur T dirigé de C dans Set (catégorie des ensembles) on a une bijection:

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c911a9df41bc11afd460ba9b58fbc8da6f4ce7b

par:

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46706379c78af521a77884be332038a23af21d32

Comme dit la page Wikipédia :

« les objets de
C
sont identifiés aux foncteurs représentables, et les morphismes de
C
à toutes les transformations naturelles entre ces foncteurs »

Les transformations naturelles dans le foncteur T sont des « éléments généralisés «  de T sur hA le lemme assermenté qu’il y a une bijection entre l’ensemble de ces éléments généralisés et l’ensemble des éléments de T(A) (qui est un ensemblé un objet de Set, par définition de T)

J’avais rédigé il y a longtemps une page sur le lemme de Yoneda :

https://meditationesdeprimaphilosophia.wordpress.com/le-lemme-de-yoneda-et-la-nature-relationnelle-des-jugements-scientifiques/

il y a aussi ces liens en anglais sur la « philosophie » du lemme:

http://www.math3ma.com/mathema/2017/9/14/the-yoneda-lemma

http://www.math3ma.com/mathema/2017/8/30/the-yoneda-perspective

En gros le lemme affirme la nature relationnelle des mathématiques, donc correspondant à la seconde structure mentale dont parle Léon Brunschvicg, alors que la première structure mentale, d’avanr la science , est « substantialiste » et se rattache au plan vital, au monde où se déploie l’illusion de l’existence de substances, d’étants, de choses stables.

Commentaire de Frank Jedrzejewski :

« Il y a équivalence entre les objets et les points de vue sur ces objets. Le lemme illustre l’idée que sous couvert de l’Un-multiple l’Etre est relation. Il est donc faux de dire que le lemme de Yoneda est antideleuzien »

« Le lemme de Yoneda impose l’union du sujet et de l’objet. Il dit de manière mathématique qu’un objet est équivalent à l’ensemble des points de vue que nous lui portons. Il établit une équivalence entre l’objet objectivé et l’objet subjectivé . Il donne une démonstration à l’idée que l’objet et le sujet ne peuvent pas se prendre séparément. L’objet parce qu’il participe au sujet fonde la possibilité d’objectives le monde, mais aussi et de manière équivalente de le subjectiver »

Commentaires en anglais sur le blog math3ma:

« an object is completely determined by its relationships to other objects.« 

« mathematical objects are completely determined by their relationships to other objects.« 

« the properties of a mathematical object are more important than its definition.« 

Il y a d’ailleurs un troisième article sur ce blog, à propos du « plongement de Yoneda » (Yoneda embedding):

http://www.math3ma.com/mathema/2017/9/6/the-yoneda-embedding

Mais dans ce récent article j’avais suggéré un rapprochement entre la structure mentale « relationnelle » de Brunschvicg et la nature « négative «  , »par limite » de la connaissance mathématique selon Lacuria :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/12/26/voyage-en-italie-de-roberto-rossellini-1954-existence-positive-et-existence-negative-etre-et-autrement-quetre-dieu-idee-lun-n/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/01/14/scienceinternelle-6-les-harmonies-de-letre-exprimees-par-les-nombres-de-labbe-lacuria-le-pythagore-francais/

Les objets mathématiques, qui sont des objets dans des catégories, auxquels s’applique le lemme de Yoneda, n’existent pas « dans le monde » ce sont de pures Idées platoniciennes, de pures formes : vous ne trouverez jamais un espace vectoriel dans le gazon du jardin ! Et pourtant sans les tenseurs et le calcul tensoriel jamais la relativité générale d’Einstein n’eût vu le jour ni non plus ses applications dans la vie de tous les jours, comme par exemple le GPS :

https://sciencetonnante.wordpress.com/2013/03/04/sans-einstein-pas-de-gps/

Les étants dans le monde, les objets qui existent, comme cet arbre, cette fleur, sont caractérisés par la « positivité «  et la « substantialité » qui n’est qu’illusoire . Cette illusion d’être une substance stable est absente des objets de la connaissance « par limite » de Lacuria, c’est la raison pour laquelle la physique est mathématique depuis quatre siècles, depuis qu’une science véritable existe:
laissons la parole à Lacuria :
« Pour que je pense le Moi, dit Fichte, il faut que je le distingue explicitement du non- Moi…une nécessité qui atteint l’idée du Moi, la plus intime de toutes, les atteint toutes: c’est donc une loi absolue qu’il n’y a pas de connaissance sans distinction..
Or, Dieu se connaît; comme il est intelligent et intelligible, il se distingue de toute éternité. Mais de quoi peut il se distinguer, lui qui est l’Etre tout entier, sinon de ce qui n’est pas, c’est à dire du néant et du non-être ? »

Seul un étant vivant, et , dans l’état de nos connaissances actuelles, humain, peut connaître et exposer ses connaissances dans un langage humain . « Dieu » est selon nous une Idée, de forme mathématique donc:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/04/16/scienceinternelle-19-recherches-sur-lidee-de-dieu-qui-est-dieu-∞-categorie-des-∞-categories/

et comme toute Idée, Dieu n’existe pas.

Cependant c’est une Idée nécessaire pour mener une existence qui soit vraiment humaine…

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