#ScienceInternelle l’∞-topos S « Spaces » joue dans le domaine des ∞-catégories le rôle du 1-topos Set dans le domaine des catégories

J’avais déjà écrit ceci en m’inspirant d’un passage de « Higher topos theory » de Jacob Lurie:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/03/01/highertopostheory-11-lanalogue-du-1-topos-set-pour-la-theorie-des-∞-categories-l-∞-categorie-spaces/

Mais il existe un texte beaucoup plus condensé de Jacob Lurie sur la théorie des ∞-topoi, intitulé « On ∞-topoi »:

https://arxiv.org/pdf/math/0306109.pdf

Lurie y aborde aussi l’∞-catégorie « Spaces »:

Page 4 sur 60, en 1.2 il identifie ces « espaces » avec les ∞-groupoides:

« le premier ingrédient nécessaire à la théorie des ∞-catégories est la théorie des ∞-groupoides ou « espaces » ( «  spaces ») c’est à dire la théorie de l’homotopie .

Notre point de vue est qu’il existe une notion abstraite et purement combinatoire de « type d’homotopie », une notion qui est ∞-catégorique par nature, et donc difficile à définir en termes ensemblistes. Cependant il y a des façons variées de représenter (to « model ») un type d’homotopie par des objets mathématiques comme CW complexes ou ensembles simpliciaux. Nous convenons donc qu’un espace (« Space ») est un CW complexe »

Cette définition est claire « a « Space » is a CW complex » et permet la définition 1.2.1 qui suit d’une ∞-catégorie

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/CW-complexe

En haut de la page 5 est expliquée la dérivation, à partir d’une ∞-catégorie C , d’une catégorie ordinaire hC (appelée aussi « catégorie dérivée) dite « catégorie d’homotopie de C «  (homotopy category):

https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+category+of+an+%28infinity%2C1%29-category

https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+category

Page 7 sur 60

« Dans la théorie ordinaire des catégories et en mathématiques en général, la catégorie Set des ensembles joue un rôle pivot. Dans le cadre ∞-catégorique, le rôle analogue est rempli par l’∞-catégorie Spaces, dont les objets sont les CW complexes ou les ensembles simpliciaux fibrants »

Cependant nous nous en tenons, pour des raisons de clarté, à la définition de Lurie page 4 : un espace est un CW complexe .

Page 22 un ∞-topos est défini en 2.2.5 et selon la proposition 2.2.6 on a :
L’∞-catégorie Spaces est un ∞-topos, l’exemple paradigmatique d’∞-topos, de même que Set est l’exemple paradigmatique de topos dans le cadre catégorique ordinaire . Cet ∞-topos est une Idée , l’Idée de plan ontologique de la multiplicité pure.

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