Julia Bergner : model structures for (∞,1)-categories

http://www.msri.org/workshops/797/schedules/22691/documents/3173/assets/30202

Le premier « modèle «  est constitué par les catégories simpliciales , notion comprise ici comme catégories enrichies sur Le topos Sset des ensembles simpliciaux

https://ncatlab.org/nlab/show/simplicial+category

D’apres Cette page, il y a trois définitions de ces objets, d’où une imprécision de langage qu’il doit être évitée

Julia Bergner parle aussi de trois « modèles «  pour la notion « homotopy theory of homotopy theories »

http://www.people.virginia.edu/~jeb2md/DefenseTalk.pdf

Une « homotopy theory » est juste une catégorie simpliciale (slice 2)

Le premier « modèle «  est la catégorie SC de toutes les catégories simpliciales (slice 6)

Le second modèle (slice 8) est constitué par les espèces complets de Segal

https://ncatlab.org/nlab/show/complete+Segal+space

Le troisième modèle (slice 17) est constitué par les catégories de Segal

https://ncatlab.org/nlab/show/Segal+category

De même ce papier d’Emily Riehl et Dominic Verity distingue entre définition schématique des (∞,1)-catégories ( en tant qu’enrichies dans les ∞-groupoides) et « modèles » de cette notion centrale, objets mathématiques précis qui « incarnent » ce schéma : parmi ces « modèles » on peut citer les quasicatégories de Joyal ou complexes de Kan

https://ncatlab.org/nlab/show/Kan+complex

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/Joyal-QCKC.pdf

https://ncatlab.org/nlab/show/quasi-category

ainsi que là aussi les espaces complets de Segal et les catégories de Segal

La théorie des ∞-cosmoi présentée ici (Définition 1.2.1) reprend les propriétés des ∞- catégories (définition schématique) de façon indépendante du « modèle » utilisé ( quasicatégories, espaces complets de Segal, catégories de Segal) et compatible avec les théories développées par André Joyal et Jacob Lurie .

En 1.2.3 des exemples de ces ∞- cosmoi sont donnés:

Cat dont les objets sont les catégories ordinaires

qCat dont les objets sont les quasicatégories

CSS dont les objets sont les espaces complets de Segal

SEGAL dont les objets sont les catégories de Segal

Le travail de Julia Bergner :

http://www.people.virginia.edu/~jeb2md/DefenseTalk.pdf

parle aussi en slide 14 de CSS qui est vue comme une structure de » catégorie modèle «  sur la catégorie des espaces simpliciaux ( Rezk)

https://arxiv.org/pdf/math/0406507.pdf

http://www.ams.org/journals/tran/2009-361-01/S0002-9947-08-04616-3/S0002-9947-08-04616-3.pdf

https://ncatlab.org/nlab/show/model+structure+for+complete+Segal+spaces

http://geoffroy.horel.org/Internalcategories.pdf

https://ncatlab.org/nlab/show/model+structure+for+quasi-categories

https://pdfs.semanticscholar.org/50d0/6f4ef39f7502e2afa2063b6e1e7266057710.pdf

https://arxiv.org/pdf/math/0101162.pdf

On retrouve les « fibration categories »:

https://arxiv.org/abs/1503.02036

https://ncatlab.org/nlab/show/model+structure+on+categories+with+weak+equivalences

notion des « fibration categories » dûe à Brown

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/02/k-s-brown-abstract-homotopy-theory-and-generalized-sheaf-cohomology/

qui est associée aux tribus de Joyal

https://hottandphilosophy.wordpress.com/2018/02/02/hott-fibration-categories-and-tribes/

D’autres travaux de Julia Bergner proches de celui ci :

http://www.math.ucr.edu/~jbergner/SegalnDelta.pdf

http://www.people.virginia.edu/~jeb2md/GInfty1.pdf

Voir aussi les deux articles de Dugger donnés ici:

https://mathoverflow.net/questions/8663/infinity-1-categories-directly-from-model-categories/8675

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