Barwick, Schommer-Pries : unicity of homotopy theory of higher categories

Un autre travail très important pour les recherches menées ici:

https://arxiv.org/pdf/1112.0040.pdf

Un article du blog de Schommer-Pries portant sur le « comparison problem of higher category theory «  a été rebloggué ici :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/09/the-comparison-problem-in-higher-category-theory/

Ce problème est abordé Page 2 et la figure 1, très éclairante et illuminatrice, doit être particulièrement soulignée. Barwick et Schommer-Pries se limitent au « Comparison problem for n=1 » c’est à dire pour les (∞,1)-catégories

Barwick et Schommer-Pries confirment que la théorie des (∞,1)-catégories est la même chose (otherwise known) que la théorie homotoque des théories des l’homotopie (homotopy theory of homotopy theories). Sur la figure 1cidessus , ainsi que dans le rectangle à droite sont mentionnés six « modèles «  de la théorie, qui forment des catégories qui ont une structure de « Quillen model category »:

QCat : catégorie des quasicatégories

CSS : catégorie des espaces complets de Segal

RelCat : catégorie (qui a une structure de catégorie reltive ) des catégories relatives

CatΔ : catégorie des catégories simpliciales

Enfin, deux catégories des catégories de Segal : Segc
et Segf

Toutes ces catégories, qui ont des structures de « Quillen model category » sont reliées par des flèches qui sont des équivalences des Quillen. Cependant ce diagramme n’est pas commutatif (fails to commute). On ne peut pas ne pas remarquer le rôle central joué par QCat, position centrale qui doit être explicitée.

Les chiffres entre parenthèse ( dans le rectangle à droite) et à côté des flèches indiquent les articles de référence à la fin de l’article (ces chiffres ne sont cependant pas visibles sur la figure telle qu’elle est recopiée ici, sur le blog, ils figurent seulement dans l’article ).

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