Théorie de l’homotopie et (∞,1)-catégories

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/07/emily-riehl-quasicategories-as-∞1-categories/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/05/hott-theorie-homotopique-des-types-∞-cosmoi-et-∞-categories-vers-la-scienceinternelle/

Le travail suivant de Karol Szumilo :

https://arxiv.org/pdf/1411.0303.pdf

« two models for the homotopy theory of co complete homotopy theories », est d’une grande importance pour les travaux de la Science Internelle , parce qu’il insiste sur le lien étroit entre théorie de l’homotopie et HoTT et théorie des (∞,1)-catégories. Celles ci sont ici envisagées comme la forme mathématique des Idées et l’Idée de l’Idée, c’est à dire (∞,1)-catégorie des (∞,1)-catégories, notée (∞,1)Cat est Dieu, c’est à dire Idée de Dieu , ou de l’Un, compris non comme Un séparé et étant, comme dans la déchéance ontologique à l’oeuvre Dans les religions, mais comme plan internel, immanence radicale à la conscience de l’être humain

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/04/16/scienceinternelle-19-recherches-sur-lidee-de-dieu-qui-est-dieu-∞-categorie-des-∞-categories/

Il n’y a cependant pas « équivalence » entre Coran et Thorah, entre Islam d’une part , qui correspond au Verbe-langage ou extérieur ou logos propherikos, et judaïsme et christianisme d’autre part, correspondant au Verbe-Raison intérieur ou logos endiathetos:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/01/15/le-principe-dunite-dans-le-coran-et-la-torah/

et ceci éclaire les événements contemporains.

L’article de Szumilo distingue entre les « modèles classiques «  de la théorie de l’homotopie, dans l’algèbre homotopique de Quillen

http://www.math.cornell.edu/~apatotski/7400-notes-2015.pdf

avec la notion de « model category » créée par Quillen :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/24/mark-hovey-model-categories-hott/

et les « modèles modernes » dans la théorie des catégories supérieures :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/21/bertrand-toen-vers-une-axiomatisation-de-la-theorie-des-categories-superieures/

Szumilo se restreint ici, comme « catégories supérieures », aux (∞,1)-catégories, dont il existe quatre « modèles «  principaux , explicités dans les travaux d’Emily Riehl ( dont l’un est donné au début de cet article) et Dominic Verity:

https://arxiv.org/abs/1608.05314

Ces quatre « modèles «  ( c’est à dire des objets mathématiques précis « incarnant «  la théorie) sont : les quasicatégories, les catégories simpliciales, les catégories de Segal et les espaces complets de Segal.

Les quasicatégories, notion créée par Boardman et Vogt,ont été étudiées le plus à fond, par Jacob Lurie et André Joyal :

https://www.math.uchicago.edu/~may/IMA/Joyal.pdf

http://mat.uab.cat/~kock/crm/hocat/advanced-course/Quadern45-2.pdf

https://web.math.rochester.edu/people/faculty/doug/otherpapers/Joyal-QCKC.pdf

Ce travail de Julia Bergner fait le point sur les (∞,1)-catégories et ces quatre « modèles »:

http://content.schweitzer-online.de/static/catalog_manager/live/media_files/representation/zd_std_orig__zd_schw_orig/014/328/421/9781441915238_content_pdf_1.pdf

ainsi que ce cours:

http://math.haifa.ac.il/hinich/infty/Part-6.pdf

ou celui ci , insistant sur les liens avec HoTT :

http://www.cs.nott.ac.uk/~psznk/docs/highercats_types16.pdf

Dans cet autre travail, qui a déjà été commenté, Julia Bergner distingue trois modèles, et non plus deux comme , pour la théorie de l’homotopie des théories des l’homotopie :

http://www.people.virginia.edu/~jeb2md/DefenseTalk.pdf

« There models for the homotopy theory of homotopy theories » et part du point de vue selon lequel une théorie de l’homotopie est une catégorie simpliciale, c’est à dire enrichie sur les ensembles simpliciaux : ces catégories forment une catégories notée SC par Julia Bergner : cette catégorie possède une « model structure » (slice 6) et le premier des trois modèles définissent par Bergner est celui des catégories simpliciales.

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/09/what-is-a-homotopy-theory/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/04/hott-simplicial-categories-segal-spaces-and-segal-categories/

Le travail de Julia Bergner sur les trois modèles pour la théorie de l’homotopie a déjà été abordé ici :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/04/julia-bergner-model-structures-for-∞1-categories/

Le second modèle de Julia Bergner, pour la « homotopy theory of homotopy theories » est celui des catégories de Segal; le troisième est celui des espaces complets de Segal.

Ainsi les trois modèles distingués par Julia Bergner figurent dans les quatre modèles des (∞,1)-catégories. C’est simple à comprendre car dans son travail Karol Szumilo identifie déjà les notions de « théorie homotopique des théories de l’homotopie » et (∞,1)-catégorie des (∞,1)-catégories cf page 7 «  all the considerations above imply that we should talk of The homotopy theory of homotopy theories as the (∞,1)-category of (∞,1)-categories « 

Dans les pages 5,6 et 7 Szumilo compare les quatre modèles de la théorie des (∞,1)-catégories , et conclut (fin de la page 5) que les catégories simpliciales et les catégories de Segal servent comme sources d’exemples, tandis que les quasicatégories et les espaces complets de Segal, plus aisés à construire directement , procurent de bons contextes « for carrying out higher categorical arguments »

Dans une (∞,1)-catégorie, les objets (rang 0) peuvent être vus comme types d’homotopie (homotopy types ) c’est à dire des classes d’équivalences d’espaces homotopiques; les 1-morphismes comme des flèches entre ces objes, les 2-morphismes comme des homotopies entre ces flèches et ainsi de suite ..

Il est donc naturel de considérer une ∞-catégories comme une théorie de l’homotopie.

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