Localisation simpliciale des catégories modèles

L’article de Barwick et Schommer-Pries que nous avons commencé à étudier ici:

https://arxiv.org/pdf/1112.0040.pdf

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/25/barwick-schommer-pries-unicity-of-homotopy-theory-of-higher-categories/

cite en fin de page 2 le travail important (groundbreaking) de Bertrand Toen que j’ai aussi signalé :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/21/bertrand-toen-vers-une-axiomatisation-de-la-theorie-des-categories-superieures/

Toen qui donne sept conditions axiomatiques pour qu’une catégorie modèle (model category) puisse être regardée comme une catégorie modèle de (∞,1)-catégories. Et Toen montre qu’une catégorie obéissant à ces conditions est « Quillen equivalent «  ( c’est une catégorie modèle) à la catégorie modèle CSS des espaces complets de Segal, catégorie qu’a découvert Charles Rezket qui figure parmi les Science catégories modèles, toutes « Quillen equivalent «  , de la figure 1, d’une importance cruciale pour la suite des travaux ici :

Toen démontre que ces équivalences de Quillen sont uniques à une homotopie cohérente près :

Toute catégorie modèle A aboutit à une catégorie simpliciale LHA par ce qu’on appelle la procédure de localisation simpliciale :

https://ncatlab.org/nlab/show/simplicial+localization

Une localisation simpliciale LC d’une catégorie C est une (∞,1)-catégorie enrichie sur les ensembles simpliciaux :

https://ncatlab.org/nlab/show/simplicially+enriched+category

Cette page montre que ces catégories enrichies sur Sset sont des modèles pour les (∞,1)-catégories et les (∞,2)-catégories, or (∞,1)Cat qui est ici vue comme l’Idée de l’Un, ou du plan internel, ou de Dieu, est à la fois l’une et l’autre , cf cette page qui étudie cette catégorie comme enrichie sur Le topos Sset :

https://ncatlab.org/nlab/show/(infinity,1)Cat

On a une injection fonctorielle :

C → LC

qui transforme toute équivalence faible ( weak équivalence : c’est avec les fibrations et les co fibrations l’une des trois sortes de morphismes dans toute catégorie modèle ) en équivalence :

https://ncatlab.org/nlab/show/model+category

Le paragraphe «  Standard simplicial localization «  de la page :

https://ncatlab.org/nlab/show/simplicial+localization

Définit le foncteur :

G. : Cat → [Δop, Cat]
qui envoie une catégorie C sur une catégorie simpliciale G.C qui est appelée ( définition 3.1) « résolution standard de C

Revenant à l’article de Barwick et Schommer Pries :

https://arxiv.org/pdf/1112.0040.pdf

celui ci cite en page 3 les références aux travaux de Dwyer Kan :

https://www3.nd.edu/~wgd/Dvi/CalculatingSimplicialLocalizations.pdf

https://www3.nd.edu/~wgd/Dvi/SimplicialLocalizations.pdf

https://www3.nd.edu/~wgd/Dvi/FunctionComplexesHomotopicalAlgebra.pdf

La procédure dûe à Dwyer et Kan de « hammock localization «  est fonctorielle et envoie les équivalences de Quillen de la figure 1 sur des équivalences de catégories simpliciales. Voir la référence 18 de l’article de Barwick et Schommer-Pries, c’est à dire le premier des articles ci dessus , « Calculating simplicial localizations « .
Le diagramme de la figure 1 peut être vu comme un diagramme d’équivalences dans la catégorie modèle des catégories simpliciales :

Cat Δ

Donc la non commutativité du diagramme de la figure 1 , qui était embarrassante , est transformée en commutativité à une homotopie cohérente prés, et le problème est résolu grâce à Toen .

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