Barwick, Schommer-Pries : la catégorie Qcat des quasicatégories comme modèle pour la théorie de l’homotopie des catégories supérieures

Continuons l’étude du travail prodigieux de Barwick et Schommer-Pries sur l’unicité de la théorie homotopique des catégories supérieure qui a été commencée ici :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/25/barwick-schommer-pries-unicity-of-homotopy-theory-of-higher-categories/

rappelons que la théorie (de la (∞,1)-catégorie) des (∞,1)-catégories est la même chose que la théorie homotopique des théories de l’homotopie :

https://arxiv.org/pdf/1112.0040.pdf

comme cela est signalé page 2 (« comparison problem for n=1 »)

Parmi les six modèles différents, qui donnent lieu à des catégories modèles équivalentes au sens de Quillen sur la figure 1:

les auteurs choisissent et fixent un modèle : celui , central sur le diagramme ci dessus, de la catégorie QCat des quasicatégories, qui a été étudiée à fond par André Joyal. On dispose aussi d’un article d’Emily Riehl sur la structure de modèle des quasicatégories :

https://pdfs.semanticscholar.org/73b2/4830bf47ae0e62f22a8ae2a6cc52c1120aff.pdf

Il y a aussi un article, sur le blog n-category Cafe, à propos du travail de Barwick et Schommer-Pries :

https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/11/the_1category_of_ncategories.html

Dans une quasicatégorie, on distingue les « 0-truncated objects « , c’est à dire les objets X pour lesquels l’espace des morphismes Map (A, X) est, pour tout objet A, homotopique à un espace discret

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Discrete_space

La quasicatégories Spaces , qui est un ∞-topos analogue au 1-topos Set , a déjà été signalée ici , à la suite du livre de Jacob Lurie :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/01/11/scienceinternelle-l∞-topos-s-spaces-joue-dans-le-domaine-des-∞-categories-le-role-du-1-topos-set-dans-le-domaine-des-categories/

Dans la quasicatégorie (Lurie appelle les quasicatégories : ∞-catégories) des espaces, Spaces , les 0-truncated objets sont les espaces homotopiquement équivalents à un ensemble.

Dans une quasicatégorie, l’espace des morphismes (mapping Space) entre deux objets est un complexe de Kan, comme l’explique ce lien:

https://math.stackexchange.com/questions/808571/why-is-the-mapping-space-between-two-objects-in-a-quasi-category-a-kan-complex

qui fait référence à un article de Dugger et Spivak , « Mapping spaces in quasicategories « :

http://math.mit.edu/~dspivak/mapqc.pdf

Une quasicatégorie est un ensemble simplicial avec des propriétés particulières, la catégorie Qcat est donc une sous-catégorie du topos Sset.

L’article de Barwick et Schommer-Pries donne (Page 4-5) quatre axiomes simples pour qu’une (∞,1)-catégorie puisse être conçue comme (∞,1)-catégorie des (∞,n)-catégories.

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