Le papier important de Karol Szumilo : two models for the homotopy theory of cocomplete homotopy theories

Cet article important est ici :

https://arxiv.org/pdf/1411.0303.pdf

https://hottandphilosophy.wordpress.com/2018/02/02/szumilo-two-models-for-the-homotopy-theory-of-co-complete-homotopy-theories/

A rapprocher de cet article de Rezk qui parle d’un modèle (A model)

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/03/09/rezk-a-model-for-the-homotopy-theory-of-homotopy-theory/

Et de cet autre de Julia Bergner , étudié ici, qui distingue trois modèles :

http://www.people.virginia.edu/~jeb2md/DefenseTalk.pdf

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/04/julia-bergner-model-structures-for-∞1-categories/

Une théorie de l’homotopie est juste une catégorie simpliciale, catégories qui forment une catégorie SC des catégories simpliciales.

Julia Bergner qui vient de faire paraître un livre:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/09/julia-bergner-homotopy-theory-of-∞1-categories/

Il y a aussi une relation étroite entre le travail de Karol Szumilo et celui de Barwick et Schommer-Pries qui distingue six modéles concrets de (∞,1)-catégories :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/03/02/localisation-simpliciale-des-categories-modeles/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/25/barwick-schommer-pries-unicity-of-homotopy-theory-of-higher-categories/

Qui sont six catégories modèles (model categories) qui sont « Quillen equivalent » les unes aux autres, cela est résumé sur ce diagramme très éclairant

Le principal résultat du travail de Szumilo est précisé au débu de son article que nous étudions ici :

https://arxiv.org/pdf/1411.0303.pdf

La catégorie des « cofibration categories » et celle des quasicatégories cocompletes ( munies de toutes les colimites) ont une structure de « fibration category » et sont équivalentes en tant que « fibration categories « 

Nous avons déjà croisé ici cette notion dûe à Brown

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/10/23/fibration-categories-and-type-theory/

https://hottandphilosophy.wordpress.com/2018/02/24/fibration-categories-are-fibrant-relative-categories/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/23/karol-szumilo-co-fibration-categories-and-quasicategories/

Szumilo distingue:

https://arxiv.org/pdf/1411.0303.pdf

entre modèles classiques (les « model categories » de Quillen) et modernes (dans les catégories supérieures) des théories de l’homotopie. Cette distinction se retrouve dans ce papier du même Szumilo:

http://eilenberg100.ptm.org.pl/sites/default/files/slides/Szumilo.pdf

(Page 2 à 7)

Les catégories supérieures considérées dans la théorie abstraite de l’homotopie sont les (∞,1)-catégories, ce qui nous ramène aux modèles déjà rencontrés de cette notion : quasicatégories, catégories simpliciales (enrichies sur Sset), catégories de Segal, espaces complets de Segal.

Les « fibration categories » et la notions duale de « cofibration categories » ne sont pas forcément équivalentes aux « model categories » et constituent un cadre alternatif pour la théorie de l’homotopie. Entre les deux se situent les catégories de Waldhausen

https://ncatlab.org/nlab/show/Waldhausen+category

La page 32 du travail de Szumilo donne des exemples de « fibration categories » dans la théorie de l’homotopie. Le théorème 1.31 est à cet égard crucial:

« tout modèle catégorique de HoTT à une structure canonique de « fibration category »

Voir

https://arxiv.org/abs/1304.0680v1

De même le théorème 1.29:

La catégorie des C*-algèbres admet une structure de « pointed fibration category »

https://ncatlab.org/nlab/show/pointed+category

avec de plus un résultat négatif : il n’existe pas de « model category » dont la « fibration category » sous- jacente « est équivalente à la catégorie du théorème 1.29 ci dessus

Voir

https://arxiv.org/abs/1011.2926v4

http://www.math.ku.dk/~jg/papers/fibcat.pdf

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