Les quasicatégories comme modèle de la théorie des (∞,1)-catégories

Les (∞,1)-catégories et l’(∞,1)-catégorie de toutes les (∞,1)-catégories sont considérées ici comme la forme mathématique du plan des Idées:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/04/16/scienceinternelle-19-recherches-sur-lidee-de-dieu-qui-est-dieu-∞-categorie-des-∞-categories/

Peut on dire qu’une (∞,1)-catégorie est dans ce blog vue comme un « modèle «  de la notion philosophique d’Idée ? Oui et non ! J’ai dit qu’une Idée est déjà une forme mathématique, donc je ne vos pas ce qui peut m’empecher De dire qu’une (∞,1)-catégorie est une Idée et que (∞,1)Cat c’est à dire l’(∞,1)-catégorie de toutes les (∞,1)-catégories est le plan internel, Idée de l’Un ou de Dieu; oui mais CAT, catégorie de toutes les catégories , est aussi dans ce cas:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

Et nous disposons ici d’un article écrit il y a 50 ans par les Professeurs David et Marilyn Edwards:

http://alpha.math.uga.edu/~davide/The_Category_of_Categories_as_a_Model_for_the_Platonic_World_of_Forms.pdf

Est ce à dire qu’il y a deux Idées de l’Idée ? Certainement pas ! Mais la mathématique est , contrairement au langage, en progrès continuel et il se passe que les recherches sur CAT sont beaucoup plus avancées que celles sur (∞,1)Cat

De plus deux travaux que nous avons déjà croisés affirment que la théorie homotopique des théories de l’homotopie est la même chose que l’(∞,1)-catégorie des (∞,1-catégories :

L’article de Barwick et Schommer-Pries d’abord : « Unicity of homotopy theory of higher categories »

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/25/barwick-schommer-pries-unicity-of-homotopy-theory-of-higher-categories/

Et l’article de Karol Szumilo « Two models of The homotopy theory of cocomplete homotopy theories « que nous avons commencé à étudier ici :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/03/23/le-papier-important-de-karol-szumilo-two-models-for-the-homotopy-theory-of-cocomplete-homotopy-theories/

Bar ici et Schommer-Pries, en page 2 de leur travail, s’attachent à ce qu’ils appellent « comparison problem for n=1 » :

« The essential structure of homotopy theory is n’est captured n’y working in one of the six models depicted in figure 1 »

figure qui est la suivante :

Et ils expliquent (en page 3 paragraphe « our results « ) qu’ils choisissent d’utiliser le langage des quasicatégories (Qcat) comme modèle de la théorie homotopique des théories de l’omotopie. Mais précisent aussitôt que les résultats obtenus peuvent être prouvés dans tout autre modèle de la figure ci dessus.
Ils évoquent aussi l’article de Bertrand Toen «  Vers une axiomatisation de la théorie des catégories supérieures « :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/21/bertrand-toen-vers-une-axiomatisation-de-la-theorie-des-categories-superieures/

Karol Szumilo dans son travail

https://arxiv.org/pdf/1411.0303.pdf

liste aussi (à partir de la fin de la page 4) les avantages de la théorie des quasicatégories qui est la plus développée parmi les modèles des (∞,1)-catégories. Il se pose la question de donner le même sens aux deux occurrences de « homotopy theory «  dans la phrase « homotopy theory of homotopy theories » et trouve un moyen de le faire en interprétant « homotopy theory of homotopy theories » comme « relative category of relative categories » , un thème de réflexions sur lequel on dispose d’un article de Barwick et Kan « Relative categories : another model for homotopy theory of homotopy theories « 

https://arxiv.org/abs/1011.1691

Mais pourquoi ne pas considérer ici qu’une Idée est tout simplement, mathématiquement parlant , une théorie de l’homotopie (homotopy theory ), c’est à dire selon Julia Bergner une catégorie simpliciale, un objet de la catégorie SC des catégories simpliciales:

https://arxiv.org/abs/math/0504334

Une version plus simple de l’article de Julia Bergner :

http://www.people.virginia.edu/~jeb2md/DefenseTalk.pdf

Cela expliquerait le rôle crucial de l’homotopie dans la Science internelle :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/06/08/scienceinternelle-homotopytypetheory-pourquoi-cette-importance-cruciale-de-lhomotopie/

On dispose de deux articles importants d’Emily Riehl sur les quasicatégories et leur lien avec les catégories simpliciales et les (∞,1)-catégories

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/07/emily-riehl-quasicategories-as-∞1-categories/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/07/emily-riehl-on-the-structure-of-simplicial-categories-associated-to-quasi-categories/

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