Riehl, Verity : infinity category from scratch

https://arxiv.org/pdf/1608.05314.pdf

Il y a aussi le survey de Julia Bergner sur les (∞,1)-catégories :

https://arxiv.org/pdf/math/0610239.pdf

ainsi que le livre de Julia Bergner qui doit paraître le 31 mars chez Cambridge : »Homotopy theory of (∞,1)-categories »

https://www.cambridge.org/core/books/homotopy-theory-of-1categories/13AA0EC820B65EC4BB6B756D60257A00

Signalons aussi le travail très utile d’Adrian Clough :

https://www.ma.utexas.edu/users/adrian.clough/Outline_infinity_categories.pdf

Le début du cours 1:

https://arxiv.org/pdf/1608.05314.pdf

dans l’article de Riehl et Verity, page 2, oppose la conception schématique ( schmatic way) de la notion, selon moi de l’Idée , de (∞,1)-catégorie aux modèles de cette théorie qui sont des objets mathématiques concrets, où Riehl et Verity distinguent notamment : les quasicatégories (Qcat), les espaces complets de Segal ( CSS), les catégories de Segal et les « naturally marked simplicial sets ». Cet article est très important car Riehl et Verity y introduisent axiomatiquement l’Idée d’∞-cosmos, dont les objets sont les ∞-catégories. Il y a ainsi un ∞-cosmos des quasicatégories dont les auteurs déclarent «  we recapture in it precisely the same category theory developper by Joyal and Lurie »

Ainsi (∞,1)-category en tant que notion schématique désigna une catégorie enrichie dans les ∞-groupoides, autre terme schématique désignant quelque chose qui s’apparente aux espaces topologiques.
Lorsque les auteurs parlent de «( ∞,1)-catégorie «  cela désigne un des modèles mathématiques concrets de cette notion schématique : quasicatégories, espaces complets de Segal, catégories de Segal et « naturally marked simplicial sets ». Les auteurs visent à développer la théorie des (∞,1)-catégories d’une façon non – schématique », et de développer une extension de la théorie des catégories à celle des ∞-catégories
qui soit (Page 3):

– indépendante (blind) du modèle considéré

– compatible avec la théorie des quasicatégories développée par Lurie et Joyal

– invariante par changement de modèle

– aussi simple que possible

les auteurs citent explicitement les travaux de Bertrand Toen :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/21/bertrand-toen-vers-une-axiomatisation-de-la-theorie-des-categories-superieures/

ainsi que de Barwick et Schommer-Pries:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/25/barwick-schommer-pries-unicity-of-homotopy-theory-of-higher-categories/

Riehl et Verity donnent Page 4 les titres des articles, tous sur Arxiv, où ce projet est développé

La catégorie Cat de toutes les catégories, qui est considérée ici comme Idée de l’Un, du plan internel, peut être vue comme une 2-catégorie Cat2, comme c’est expliqué page 4 , les 1-morphismes étant les foncteurs et les 2-morphismes les transformations naturelles entre foncteurs

https://mathesisuniversalis2.wordpress.com/2015/07/07/transformations-naturelles/

Les ∞-catégories sont un des modèles utilisés ( quasicatégories etc….) , pour chaque type de modèle on a donc les ∞- foncteurs entre ces ∞-catégories ainsi que les ∞- transformations naturelles entre ces ∞- foncteurs. On a donc une 2-catégorie stricte appelée par Riehl et Verity « 2- catégorie homotopique «  ( homotopy 2-category)

La 1-catégorie sous jacente à une 2-catégorie est constituée des objets et des 1-morphismes.
Page 5 sont expliquées sur des diagrammes les deux sortes de composition, verticale et horizontale, des 2-morphismes

https://arxiv.org/pdf/1608.05314.pdf

Un cas dégénéré de composition horizontale concerne le cas où l’on compose un 2-morphisme avec une identité, à gauche ou à droite

L’adjonction entre ∞-catégories est définie page 6, définition 1.1.2

La notation est la même que dans le cas classique

f ⊣ u se lit : le foncteur f est adjoint à gauche du foncteur u et u est adjoint à droite de f

Il y a une composition des adjonctions proposition 1.1.3 page 6

On définit en 1.1.4 l’équivalence entre deux ∞-catégories A et B, notée A ≅ B

Toute cette machinerie permet de passer en page 8 à la définition 1.2.1 de l’Idée d’ ∞-cosmos.

Un ∞-cosmos est une catégorie K enrichie sur Le topos Sset des ensembles simpliciaux telle que :

– les objets de K sont appelés ∞- catégories

– les morphismes entre deux objets À et B forment un ensemble simplicial (enrichissement de la catégorie K sur Sset) qui est une quasicatégorie, c’est à dire un type particulier d’ensemble simplicial obéissant à la condition faible de Kan, définie en 1.2.2 page 9

Il y a une autre condition sur la catégorie K pour qu’elle soit un ∞- cosmos : c’est qu’elle soit munie d’une sous-classe de morphismes ( ce qui équivaut à dire qu’elle a une sous-catégorie ayant les mêmes objets mais dont les morphismes sont ceux de la sous-classe ) appelés Iso fibrations ayant les propriétés à et b de la définition 1.2.1 page 8

Les quasi catégories ont une page :

https://ncatlab.org/nlab/show/quasi-category

En constituent un modèle géométrique pour les (∞,1)-catégorie, de même que les complexes de Kan sont un modèle pour les (∞,0)-catégories, c’est à dire les ∞-groupoides.

https://ncatlab.org/nlab/show/Kan+complex

Les auteurs parlent à plusieurs reprises de la structure de catégorie modèle de Joyal pour les quasicatégories ( Joyal model structure on simplicial sets) c’est expliqué sur la page correspondante :

https://ncatlab.org/nlab/show/model+structure+for+quasi-categories

Les quasicatégories sont exactement les « objets fibrant » de cette structure de « model category » sur Sset :

https://ncatlab.org/nlab/show/model+category

Le paragraphe 1.2.3 page 10 donne des exemples pour les ∞-cosmoi :

– Cat , qui est pour nous l’Idée du plan internel des Idées :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

Est un ∞-cosmos dont les objets sont les catégories ordinaires

– qCat est un ∞-cosmos dont les objets sont les quasicatégories.
De même CSS est un ∞-cosmos dont les objets sont les espaces complets de Segal, Segal un ∞-cosmos dont les objets sont les catégories de Segal.
L’écrasante majorité des chercheurs choisit les quasicatégories comme « modèle » des (∞,1)-catégories et Emily Riehl en fait partie, comme elle l’explique ici :

https://golem.ph.utexas.edu/category/2009/10/associativity_data_in_an_1cate.html

Les prochaines étapes du travail consisteront donc à étudier à fond l’ ∞-cosmos qCat des quasicatégories

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