#∞-cosmoi Riehl, Verity : Fibrations and Yoneda’s lemma in an ∞-cosmos

Cet article de Riehl et Verity :

https://arxiv.org/pdf/1506.05500.pdf

est l’une des sources citées par les deux chercheurs dans l’article que nous avons commencé à étudier hier :

« Infinity-category theory from scratch »

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/03/25/riehl-verity-infinity-category-from-scratch/

et Riehl et Verity signalent page 11:

https://arxiv.org/pdf/1608.05314.pdf

que l’axiomatisation de cette notion d’ ∞-cosmos peut être rendue plus générale et que la notion utilisée dans l’article que nous étudions ici est « plus faible » et que des « affaiblissements «  plus importants sont possibles. Ceci doit nous servir à distinguer entre l’Idée d’ ∞-cosmos , qui est Une, et son explication (axiomatisation, schématisation ) mathématique, qui peut varier, ce qui n’empêche pas une Idée d’être mathématique, c’est à dire émergeant de la pratique mathématique. Et cette observation vaut pour toutes les Idées, les ∞-catégories, qui sont les « habitants » de ces Univers d’Idées que sont les ∞-cosmoi.

Mais le plus important dans ce travail est que la théorie élaborée est indépendante du choix du modèle (quasicatégories, espaces de Segal, etc..) comme Riehl et Verity y insistent dans un autre lien:

https://math.mit.edu/conferences/talbot/2018/syllabus.pdf

La notion fondamentale introduite ici est celle de « fibration cartésienne » aussi traitée par Jacob Lurie au chapitre 2 de son Livre « Higher topos theory »:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/09/05/highertopostheory-15-fibrations-densembles-simpliciaux/

Un signe particulier est utilisé pour les isofibrations, cette sorte de morphismes dans un ∞-cosmos selon les axiomes développés page 8 dans :

https://arxiv.org/pdf/1608.05314.pdf

Ce signe est une flèche à double pointe

https://www.toptal.com/designers/htmlarrows/arrows/right-two-headed-arrow/

Il y a deux sortes de morphismes particuliers assortis d’un signe spécial dans l’axiomatisation de la notion d’∞-cosmos qui est développée page 6: les isofibrations avec la flèche à double pointe quelques lignes plus haut, et les fibrations triviales, qui sont des foncteurs de K qui sont à la fois des isofibrations et des équivalences . J’utiliserai pour les fibrations triviales le signe suivant :

https://www.toptal.com/designers/htmlarrows/arrows/right-harpoon-with-barb-up/

Un foncteur entre ∞-cosmoi

F : K → L

est défini page 9 en 2.1.9 comme un foncteur simplicial

https://ncatlab.org/nlab/show/simplicial+functor

qui envoie une isofibration sur une isofibration , une fibration triviale sur une fibration triviale et préserve les limites mentionnées dans l’axiomatisation page 6
Ensuite sont donnés des exemples précis d’∞-cosmoi
En 2.1.4 page 7 celui qCat des quasicatégories

En 2.2.4 page 11 l’ ∞-cosmos Cat dont les objets sont les catégories

En 2.2.5 l’∞-cosmos CSS des espaces complets de Segal
puis en 2.2.7 page 13

Ces exemples sont importants pour la Science internelle, qui envisage Cat comme (méta)catégorie de toutes les catégories :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

De même l’∞-cosmos qCat où tout autre exemple dans la suite peut être envisagé, comme Idée du plan internel, remplaçant ainsi (∞,1)Cat

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/04/16/scienceinternelle-19-recherches-sur-lidee-de-dieu-qui-est-dieu-∞-categorie-des-∞-categories/

Le plan internel comme Idée de l’Un ou de Dieu est ainsi l’∞-cosmos où vivent les Idées , qui sont les ∞-catégories

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