Towards a synthetic theory of ∞-categories I

https://scholar.harvard.edu/files/rastern/files/midtermpaper.pdf

Articles proches :

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ct2017slides.pdf

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/synthetic.pdf

Cet article de Reuben Stern :

https://scholar.harvard.edu/rastern/writings-0

d’introduction aux ∞-cosmoi , passe en revue le développement de la théorie des catégories : catégories monoidales (munies d’un produit tensoriel), catégories enrichies, « model categories » et consacre plus de la moitié de son espace à l’un des modèles de la théorie des (∞,1)-catégories : les quasicatégories dont il montre qu’elles constituent un ∞-cosmos noté Quasicat ( noté généralement QCat )
Il devait y avoir une suite, voici ce qu’en dit l’auteur:

https://scholar.harvard.edu/rastern/writings-0
« This paper is my attempt to understand the Riehl-Verity definition of an ”
∞-cosmos” as a category of (∞,1)-categories. I had once intended for it to be the first in a serres of papers explaining the theory, but quickly became overwhelmed with unfamiliar concepts and notation. Nonetheless, this article-written as a midterm paper for Eric Peterson’s Advanced Algebraic Topology course-serves to introduce the theory of monoidal categories, enriched categories, and model categories necessary to end with a definition of an
∞-cosmos. »

Les catégories monoidales sont pourvue d’une structure monoidale définition 2.1

Une symétrie pour une catégorie monoidale est définie en 2.3

Des exemples de catégories monoidales symétriques sont Set et Mod, catégorie des modules sur un anneau R fixé commutatif.

La section 3 offre page une introduction concise aux catégories modèles, et la section 4 aborde page 9 les ensembles simpliciaux:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/03/05/hott-sets-types-categories/

Il y a une structure monoidale sur la catégorie, qui est un topos, des ensembles simpliciaux Sset voir 4.12 page 13

https://scholar.harvard.edu/files/rastern/files/midtermpaper.pdf

La section 5 qui suit page 13 a pour titre « One model of infinity categories » et aborde la théorie de Riehl- Verity

L’exemple 5.1 page 14 donne un exemple très important d’un ∞-groupoide , noté ΠX, associé à tout espace topologique X : les objets (0-morphismes ) sont les points, les morphismes sont les chemins entre les points, les 2-morphismes les homotopies de chemins, etc..

La section 5.2 définit les complexes de Kan : un complexe de Kan est un ensemble simplicial ayant la propriété supplémentaire que (en anglais ): « every horn has a filler « 

https://ncatlab.org/nlab/show/horn

Un papier proche de cette section 5:

https://math.mit.edu/~ebelmont/ssets.pdf

Et l’introduction « sans peine » d’Emily Riehl aux ensembles simpliciaux :

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ssets.pdf

Il y a deux sortes de « horn » (cf page Nlab ci dessus) : les intérieurs (« inner ») pour 0<k<n et extérieur : k=0 ou k= n

Une quasicatégorie est un ensemble simplicial particulier, tel que tous les « horn » intérieurs ont une extension ( a filer)

Une quasicatégorie a donc une définition proche de celle d’un complexe de Kan ( un ensemble simplicial pour lequel tous les « horn «  ont une extension) et à l’origine les quasicatégories étaient appelées complexes de Kan faibles.

La définition 5.2 donne une définition claire et imagée de la propriété des « horn » qui intervient dans la définition des complexes de Kan et des quasicatégories : la propriété est l’existence d’un morphisme (en pointillé sur la figure 5.2) rendant le diagramme triangulaire de la figure commutatif.

Une sorte spéciale et importante d’ensemble simplicial est le « nerf d’une catégorie «  . On a donc un foncteur (nerve functor) associant à une catégorie son nerf :

N : Cat → Sset

impliqué dans une adjonction comme montre Définition 5.8 page 15.
Son foncteur adjoint à gauche T : Sset → Cat est nommé « catégorie fondamentale «  en référence au foncteur « fundamental groupoid »

Étant donné un ensemble simplicial X , T(X) est une catégorie dont la construction est expliquée à la section- définition 5.8 ; dans le cas particulier où X est une quasicatégorie ( qui est un ensemble simplicial particulier ) on appelle T(X) la 2-catégorie ou simplement la catégorie homotopique de X notée Ho(X) . On a donc un diagramme triangulaire de foncteurs sur la figure de la définition 5.8, les trois foncteurs étant N, T et Ho
La définition 6.1 page 17 pour ∞-cosmos le considère comme une sorte de catégorie enrichie sur Sset (simplicially enriched category ) dont les objets sont les ∞- catégories et les espaces de morphismes entre deux objets (Homsets ) . qui sont des ensembles simpliciaux, sont des quasicatégories .

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