Eva Belmont : simplicial sets and quasicategories

Ce petit travail :

https://math.mit.edu/~ebelmont/ssets.pdf

Qui a pour titre « Simplicial sets and one notion of ∞-categories « , est cité dans l’article précédent

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/04/01/towards-a-synthetic-theory-of-∞-categories-i/

à propos de la section 5 page 13 du travail de Reuben Stern :

https://scholar.harvard.edu/files/rastern/files/midtermpaper.pdf

Cette notion ou ce modèle des ∞-catégories, c’est la catégorie Qcat des quasicatégories, qui est un ∞-cosmos, un univers d’∞-catégories c’est à dire d’Idées platoniciennes. Les quasicatégories sont des ensembles simpliciaux particuliers, comme les complexes de Kan et les quasicatégories étaient appelées par leurs inventeurs Boardman et Vogt des « complexes de Kan faibles »

Je rappelle que j’ai définitivement pris parti dans le débat « le mathématicien est il un découvreur- explorateur d’un monde intelligible ou spirituel déjà là , ou bien est il un inventeur ? »

C’est l’option de l’inventeur-créateur qui est choisie ici , car sinon l’avis de Léon Brunschvicg, que je partage sans réserves, s’appliquerait et la Science internelle ne pourrait que dériver vers un scepticisme nihiliste, participant à l’essor contemporain et démoniaque du Mal Radical qui se fait jour actuellement et dont nous voyons trop les signes. Quel triste destin pour une « voie » qui avait justement pour intention de lutter contre le Mal du nihilisme et du relativisme !

Le propos de Brunschvicg, que j’ai cité bien souvent déjà est :

« Les trois propositions génératrices du scepticisme, de l’immoralisme et de l’athéisme, sont : le vrai est, le bien est, Dieu est « 

La note assez courte d’Eva Belmont commence avec la description du passage d’un complexe simplicial, décrit de manière combinatoire, à un ensemble simplicial:

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Complexe_simplicial

Un ensemble simplicial est un cas particulier d’objet simplicial dans une catégorie C, c’est à dire un foncteur contravariant :

Δop → C

où C est une catégorie et Δ est la catégorie simplexe ayant pour objets les odinaux (les nombres entiers) finis non nuls et pour flèches les fonctions préservant l’ordre voir section 4 page 9 du travail de Reuben Stern:

https://scholar.harvard.edu/files/rastern/files/midtermpaper.pdf

Un ensemble simplicial correspond au cas où C = Set catégorie des ensembles

Une définition alternative, moins abstraite , d’ensemble simplicial est la définition 4.4 page 10 : un ensemble simplicial est la donnée d’ensembles Xn indexés par N les nombres entiers avec des fonctions :

di : Xn → Xn-1

si : Xn → Xn+1

qui respectent les relations simpliciales ( voir en haut de la page 10)

La note d’Eva Belmont explique dés le début ce que sont en pratique ces exemples X indexées sur N . Ainsi page 1 l’ensemble X0 Est l’ensemble des sommets du complexe simplicial, X1 l’ensemble des arêtes, X2 l’ensemble des faces et l’on a :

X0 = {a,b,c,d}

X1 ={(a,b),(b,c), (c,a),(b,d)}

X2={(a,b,c)}

et tous les ensembles d’indice supérieur sont vides.

La page 2 de l’au note d’Eva Belmont résume cette multiplicité d’ensembles en un foncteur contravariant :

Δop → Set

Page 3 l’exemple 1.3 explique comment un ensemble simplicial Sing W peut être associé à tout espace topologique W, et l’exemple 1.4 explique la construction du nerf BC d’une catégorie C : BC est un ensemble simplicial

Puis l’on passe à la section 2 « Kan condition «  sur la notion de « horn »

https://ncatlab.org/nlab/show/horn

et la condition de Kan équivaut à la propriété pour qu’un ensemble simplicial soit un complexe de Kan : « every horn bas a filler « 

https://ncatlab.org/nlab/show/Kan+complex

L’ensemble simplicial Sing W obéit à cette condition (exemple 2.3) par contre le nerf BC d’une catégorie C ne la satisfait pas toujours ( exemple 2.5) sauf si C est un groupoide (tous les morphismes sont iso)

Il existe une condition de Kan affaiblie , valable pour les « inner horns », pour 0<k<n

« Every inner horn has a filler »

Les quasicatégories sont les ensembles simpliciaux obéissant à cette condition affaiblie; les complexes de Kan sont les ensembles simpliciaux obéissant à la condition de Kan générale (y compris pour k=0 ou k=n)
Si C est une catégorie, alors les « fillers «  pour les « inner horns » sont uniques : cela veut dire que dans le diagramme de la définition 2.2 de la condition de Kan, l’extension, la flèche :

Δn → X

Qui fait commuter le diagramme 2.1 est unique.

Il y a une sorte de réciproque dans la proposition 2.7 page 5:

Si l’ensemble simplicial X à des « fillers » ( des extensions, selon la propriété de commutation supra) qui sont uniques, alors X est un nerf BC pour une catégorie C

Dans une quasicatégorie, il n’y a pas cette unicité mais « tous les fillers possibles «  sont équivalents (fin de la page 5 , juste avant la définition 2.8

Cette définition 2.8 explique la relation d’homotopie entre deux flèches (« 1-simplices »)

f,g : x → y

On écrit f ∾ g cette relation : f est homotopique à g

La proposition 2.9 page 6 montre que si X est une quasicatégorie, cette relation ∾ est une relation d’équivalence : une relation réflexive, symétrique et transitive.

La proposition 2.10 de la page 6:

Dans une quasicatégorie les extensions pour les « inner horns » («inner-horn-fillers « sont homotopique, donc équivalents selon cette relation d’équivalence

Ce qui autorise la conclusion de cette note particulièrement illuminatrice sur les quasicatégories :

Dans une quasicatégorie X, on n’a pas forcément X=BC, X n’est pas forcément le nerf d’une catégorie , mais on peut toujours associer à X une catégorie Ho (X) dite catégorie d’homotopie de la quasicatégorie : les objets sont les éléments de X0, et les morphismes sont des classes d’équivalence par homotopie d’éléments de X1

En références Eva Belmont donne deux liens intéressants :

An elementary illustrateur introduction to simplicial sets

https://arxiv.org/abs/0809.4221

(L’important est dans le « illustrated » : une image vaut mille mots, comme cela se vérifie avec les diagrammes très éclairants dans la note d’Eva Belmont )
Et

An introduction to ∞-categories

http://pages.uoregon.edu/njp/tanaka.pdf

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