Une seule et même Idée peut elle avoir plusieurs formes, plusieurs « modèles « mathématiques ?

Revenons à cet important travail de Barwick et Schommer-Pries dont nous sommes loin d’avoir fait le tour : » Unicity of homotopy theory of higher categories »:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/25/barwick-schommer-pries-unicity-of-homotopy-theory-of-higher-categories/

Il contient le diagramme suivant tout à fait illuminateur :

Nous avons donc six « modèles «  équivalents de la même théorie , qui est aussi bien théorie des (∞,1)-catégories que théorie de l’homotopie des théories de l’homotopie : c’est la même chose, comme le reconnaissent Barwick et Schommer-Pries.

Selon cettte conférence de Julia Bergner , une théorie de l’homotopie n’est rien d’autre qu’une catégorie simpliciale, c’est à dire une catégorie enrichie sur Sset , catégorie (topos) des ensembles simpliciaux :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/02/04/julia-bergner-model-structures-for-∞1-categories/

http://www.people.virginia.edu/~jeb2md/DefenseTalk.pdf

Solide 2 : » we take the point that a homotopy theory is just a simplicial category »

Ranger dans un coin ce travail très éclairant de Julia Bergner et s’en rappeler. Il existe une version plus complexe de cet exposé :

https://ia801000.us.archive.org/16/items/arxiv-math0504334/math0504334.pdf

dont l’abstract Au début donne l’explication : « given a model category, it’s simplicial localization is a simplicial category which can be called rightfully the homotopy theory of The model category. There is a model category structure on the category of simplicial categories, so it’s simplicial localization can be called « homotopy theory of homotopy theories »

Voir aussi slides 3 et 4 de l’exposé

http://www.people.virginia.edu/~jeb2md/DefenseTalk.pdf

Selon le diagramme de l’article de Barwick et Schommer-Pries, les six « modèles «  de la théorie SI (comme Science Internelle, qui est aussi bien théorie des (∞,1)-catégories que théorie homotopique des théories de l’homotopie ) sont des catégories qui ont une structure de « model category » et sont liées par des équivalences de Quillen, c’est à dire des paires de foncteurs adjoints :

https://ncatlab.org/nlab/show/Quillen+equivalence

Il existe aussi un article de ce blog qui se concentre plus sur l’un des six modèles : la catégorie Qcat des quasicatégories et les recherches de Barwick et Schommer-Pries sur ce modèle :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/03/11/barwick-schommer-pries-la-categorie-qcat-des-quasicategories-comme-modele-pour-la-theorie-de-lhomotopie-des-categories-superieures/

A ces travaux viennent s’adjoindre ceux d’Emily Riehl et Dominic Verity sur la notion, inventée par eux , des ∞-cosmoi où nous retrouvons des modèles de la théorie des ( ∞,1)-catégories :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/03/25/riehl-verity-infinity-category-from-scratch/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/03/28/∞-cosmoi-riehl-verity-fibrations-and-yonedas-lemma-in-an-∞-cosmos/

Nous retrouvons les espaces complets de Segal (CSS)les quasicatégories Qcat , qui sont déjà chez Barwick et Schommer-Pries comme catégories ayant une structure de catégorie modèle : ce sont ici des ∞-cosmoi , s’y ajoute l’ ∞-cosmos Cat catégorie de toutes les catégories et d’autres ∞-cosmoi faisant partie de la « menagerie of cosmological beasts » comme l’appellent Riehl et Verity ici :

https://math.mit.edu/conferences/talbot/2018/syllabus.pdf

Il y a donc plusieurs modèles mais une seule et même théorie qui est indépendante du modèle choisi.
Jusqu’ici j’ai toujours affirmé que les Idées sont mathématiques, je persiste mais et une seule et même Idée peut avoir plusieurs modèles qui sont des objets mathématiques concrets. Il n’y a pas d’Idées d’objets ou d’êtres du monde: pas d’Idée du Cheval, de l’Arbre, de la table.

Ainsi par exemple l’Idée de Dieu, ou de l’Un, ou encore l’Idée de l’Idée ( de même que l’on parle de théorie homotopique des théories de l’homotopie, ou de catégorie des catégories, par contre il est interdit logiquement de par le paradoxe de Russell de parler d’ensemble de tous les ensembles ) est elle ici considérée comme Cat :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2016/08/25/la-metacategorie-cat-de-toutes-les-categories-comme-modele-mathematique-du-monde-des-idees-de-platon/

Ou (∞,1)Cat ∞-catégorie de toutes les ∞-catégories:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/04/16/scienceinternelle-19-recherches-sur-lidee-de-dieu-qui-est-dieu-∞-categorie-des-∞-categories/

mais cette Idée , la plus haute de toutes, a , dans cette nouvelle optique qui est la nôtre dorénavant , une pluralité de modèles différents qui sont les ∞-cosmoi énumérés dans les travaux de Riehl et Verity : Cat, Qcat, CSS, catégories de Segal , objets de Rezk, etc..

Une Idée , dans cette optique , n’est pas mathématique, ce sont ses « modèles «  qui le sont : je parlais au début de mathèmes, je reprends cette pratique. L’important est que l’on puisse raisonner sur les Idées ou leurs modèles au moyen des mathématiques, une Idée n’est pas un simple « flatus vocis », un assemblage de mots , de logoi.

Advertisements
This entry was posted in ∞-catégories, ∞-cosmoi, ∞-topoi, DIEU, Ensembles simpliciaux, Homotopy, homotopy type theory, Philosophie, Philosophie mathématique, Quasicatégories, Science-internelle. Bookmark the permalink.