#RiehlVerity #ScienceInternelle #∞-categories Approche synthétique , analytique et schématique

J’étudierai dans ce hashtag les travaux de Dominic Verity et Emily Riehl,consacrées aux différents modèles des (∞,1)-catégories, en particulier ce dernier cours : » ∞-categories for the working mathematician »

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ICWM.pdf

Commençons par la préface qui indique les buts de ce travail qui procède de manière synthétique, à partir de définitions qui peuvent être interprétées simultanément dans les différents modèles de la théorie. Ce terme « synthétique » s’oppose aux traitements « analytiques » de la théorie des ∞-catégories, dans lesquelles les notions catégoriques sont établies à partir des caractères d’un modèle particulier , tout autant qu’à « schématique « : les théorèmes sont prouvés à partir de quelques axiomes clairs, et valables dans tout modèle satisfaisant ces axiomes.

Cette théorie synthétique est développée dans les ∞-cosmoi, qui sont des axiomatisations des « univers dans lesquels vivent les ∞-catégories » les ∞-catégories, qui sont les objets des ∞-cosmoi, comprennent des modèles des (∞,1)-catégories, mais aussi des (∞,n)-catégories y compris les (∞,∞)-catégories dont un modèle est constitué par les « complicial sets »:

https://arxiv.org/abs/math/0410412

https://arxiv.org/abs/1610.06801

https://ncatlab.org/nlab/show/complicial+set

Sur les (∞,n)-catégories :

https://ncatlab.org/nlab/show/(infinity,n)-category

Le développement de la théorie des ∞-catégories prend place dans ce qui est appelé « 2-catégorie homotopique «  d’un ∞-cosmos qui peut être compris comme catégorie des objets fibrants d’une catégorie modèle enrichie : la « 2-catégorie homotopique «  est alors la cat’gorification de la « homotopy category » de cette catégorie modèle .

https://ncatlab.org/nlab/show/category+of+fibrant+objects

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