#RiehlVerity #ScienceInternelle #∞-categories Quasicategories

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ICWM.pdf

Section 1.1

La catégorie Δ, appelée catégorie simplexe, est définie : ses objets sont les ordinaux finis et non nuls, ses morphismes sont les fonctions préservant l’ordre. Parmi ces flèches, les « elementary face operators » et les « elementary degeneracy operators » jouent un rôle important .

Un ensemble simplicial est un préfaisceau sur la catégorie simplexe , ils forment une catégorie SSet = SetΔop

Voir aussi cet article où le thème été aussi traité

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/04/02/eva-belmont-simplicial-sets-and-quasicategories/

Une quasicatégorie est un ensemble simplicial possédant la propriété appelée condition de Kan dans le papier d’Eva Belmont ( définition 2.2, page 4).

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022404902001354

C’est aussi un ensemble simplicial satisfaisant les conditions affaiblies de Kan ( les quasi catégories étaient appelées à l’origine complexes de Kan faibles)

https://ncatlab.org/nlab/show/Kan+complex

Résultat important : une quasicatégorie X est un complexe de Kan si et seulement si Ho(X) , la catégorie d’homotopie, est un groupoide.

A toute catégorie C on peut associer son nerf BC qui est un ensemble simplicial dont la construction est précisée ici exemple 1.4 page 3 :

https://math.mit.edu/~ebelmont/ssets.pdf

Cette construction est fonctorielle : la catégorie Cat de toutes les catégories est donc incluse dans celle SSet des ensembles simpliciaux par une inclusion pleine et fidèle (full and faithful embedding)

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Full_and_faithful_functors

Proposition 1.1.6 : les nerfs des catégories sont des quasi-catégories

Un n-simplexe dans le nerf d’une catégorie C est une suite de n flèches de C qui peuvent être composées; cela peut être vu comme un foncteur de la càgorie ordinale :

[n] → C

Les 1-simplices sont donc des flèches de C . La relation d’homotopie entre deux flèches f et g est expliquée en 1.1.7 page 11 : existence d’un 2-simplexe comme sur la figure 1.1.8 , c’est à dire d’un diagramme triangulaire commutatif

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ICWM.pdf

C’est la relation d’homotopie entre f et g qui est expliquée en 2.8 page 5 dans le papier d’Eva Belmont :

https://math.mit.edu/~ebelmont/ssets.pdf

C’est une relation d’équivalence f ∾ g si L’on est dans une quasicatégorie, ce qui est le cas pour le nerf de C puisque tous les nerfs sont des quasicatégories.

Étant donné un ensemble simplicial X on peut former sa catégorie d’homotopie hX

Par une construction fonctorielle, et , proposition 1.1.11 page 12 du papier de Riehl-Verity

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ICWM.pdf

le foncteur h , dirigé de SSet vers Cat, est adjoint à gauche du foncteur nerf d’inclusion de Cat dans SSet

Dans le cas où A est une quasi-catégorie, la catégorie d’homotopie hA est simplifiée :

– les objets sont ceux de A (0-simplices)

-les flèches sont les classes d’homotopie des 1-simplices de A

– Deux flèches se composent : h=gf

si , pour tout choix d’éléments représentant ces flèches (qui sont par définition des classes d’équivalence ) on a un 2-simplexe sous la forme d’un triangle commutatif comme sur la figure du lemme 1.1.12 page 12

Un morphisme dans une quasicatégorie est un isomorphisme quand la flèches associée ( classe d’homotopie) dans la catégorie d’homotopie hX est un isomorphisme

Proposition 1.1.15 page 13:

Une quasicatégorie est un complexe de Kan si et seulement si sa catégorie d’homotopie est un groupoide.

C’est le résultat principal démontré dans ce travail de Joyal :

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022404902001354

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