#RiehlVerity #ScienceInternelle #∞-categories ∞-cosmoi

Les ∞-cosmoi sont l’invention d’Emily Riehl et Dominic Verity . C’est une fnotion importante dans la théorie synthétique des ∞-catégories:

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/04/15/riehlverity-scienceinternelle-∞-categories-approche-synthetique-analytique-et-schematique/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/03/28/∞-cosmoi-riehl-verity-fibrations-and-yonedas-lemma-in-an-∞-cosmos/

Les ∞-cosmoi sont abordés en section 1.2, page 18, de ce cours de Riehl et Verity :

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/ICWM.pdf

Les démonstrations dans la section précédente 1.1 à propos des résultats basiques de la théorie des quasicatégories sont « analytiques « , par contre dans cette section 1.2 et après c’est une théorie synthétique qui est recherchée, s’appliquant à plusieurs modèles de la théorie . La stratégie pour cela consiste à axiomatiser non les ∞-catégories, (procédé schématique) mais les univers dans lesquels elles « vivent « , qui sont les ∞-cosmoi.

La définition 1.2.1 qui en est donnée page 13 est une axiomatisation des propriétés analytiques des quasicatégories vues en section 1.1, ainsi que des classes d’isofibrations, équivalences et fibrations triviales.

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/03/28/∞-cosmoi-riehl-verity-fibrations-and-yonedas-lemma-in-an-∞-cosmos/

Les isofibrations sont symbolisées par un signe spécial à double pointe:

https://www.toptal.com/designers/htmlarrows/arrows/right-two-headed-arrow/

et les fibrations triviales par un autre signe:

https://www.toptal.com/designers/htmlarrows/arrows/right-harpoon-with-barb-up/

https://ncatlab.org/nlab/show/isofibration

https://www.fmf.uni-lj.si/~pavesic/RESEARCH/A%20note%20on%20trivial%20fibrations.pdf

Un ∞-cosmos K est donc défini comme une catégorie enrichie sur les quasicatégories :

– les objets sont appelés ∞-catégories

– les morphismes sont les sommets (vertices) de quasicatégories

K est muni d’une classe particulière de morphismes appelés isofibrations

ainsi que d’équivalences et de fibrations triviales : une flèche

f : A → B est une équivalence si et seulement si la flèche induite entre espaces de morphismes-foncteurs (qui sont des quasicatégories):

Fun (X,A) → Fun ( X,B)

est une équivalence de quasicatégories pour tout X

et une fibration triviale est définie comme étant à la fois une isofibration et une équivalence

S’ajoute à cela des propriétés de complétude pour K en i) et des conditions pour les isofibrations (ii) qui doivent contenir les isomorphismes et les flèches dirigées vers l’objet terminal.

Une autre sources sur les ∞-cosmoi est cet article de Sulyma :

https://arxiv.org/pdf/1609.05642.pdf

La définition en 2.1 page 4 est un peu différente, on part des isofibrations et dès équivalences (appelées équivalences faibles ) et les fibrations triviales sont appelées « fibrations acycliques » définie comme étant à la fois des équivalences faibles et des isofibrations.

Si À est une ∞-catégorie, dans un ∞-cosmos K, sa quasicatégorie sous-jacente est définie comme l’espace des morphismes entre l’objet terminal 1 et A :

Mor (1,A)

Advertisements
This entry was posted in ∞-catégories, ∞-cosmoi, ∞-topoi. Bookmark the permalink.