#HigherToposTheory topological categories and simplicial categories

Revenons sur l’étude du livre de Jacob Lurie , qui est ici :

http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf

à la lumière de ce que nous avons appris des travaux de Julia Bergner, Emily Riehl, Dominic Verity.

Les derniers articles du hashtag :

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/04/19/highertopostheory-un-nouveau-guide-de-lecture/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/01/21/highertopostheory-11-une-carte-routiere-pour-letude-de-higher-topos-theory-de-jacob-lurie/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2017/03/01/highertopostheory-11-lanalogue-du-1-topos-set-pour-la-theorie-des-∞-categories-l-∞-categorie-spaces/

Voir aussi :

https://mathesisuniversalis.wordpress.com/tag/higher-topos-theory-2/

https://anthroposophiephilosophieetscience.wordpress.com/2018/04/16/highertopostheory-reading-guide-to-htt/

Pour lire le livre, deux options : soit , ce qui est le mieux, suivre les instructions du « Reading guide » références ci dessus, soit entrer n’importe où , il n’y a pas un ordre linéaire, aussi ne numéroterai je plus les articles du Hashtag désormais.

Revenons donc au chapitre 1 «  Foundations of higher category theory » page 15 avec les deux points de départ possibles relevés par Jacob Lurie pour l’étude des ∞-catégories : début Du paragraphe 1.1.3 « Équivalence of topological categories « 

« We now introduce two approaches to higher category theory : one based on topological categories and one based on simplicial sets »

Il est fait allusion aux catégories topologiques Page 11 sur 34 de cet article :

http://www.math.jhu.edu/~eriehl/HoTTEST.pdf

ou. Top-Cat , catégorie des catégories topologiques, est opposée à RelCat, catégorie des catégories relatives

Quant à la catégorie des catégories simpliciales, notée SC par Julia Bergner et

CatΔ

dans le livre de Jacob Lurie, elle a une structure de catégorie modèle d’après ce travail de Julia Bergner :

https://arxiv.org/abs/math/0406507

Signalons aussi que l’approche « schématique » s’oppose à celle, dite synthétique, par modèles, de Riehl et Verity :

https://arxiv.org/abs/math/0406507

Selon le lien ci dessus, Jacob Lurie et André Joyal privilégient un modèle , celui des quasicatégories, qui forment un ∞-cosmos, tandis que Riehl et Verity ont une approche synthétique dans d’autres ∞-cosmoi , une théorie indépendante du modèle (c’est à dire ce que nous appelons ici une Idée) étant visée
La notion d’(∞,1)-catégorie , en tant qu’enrichie (faiblement) sur les ∞-groupoides , l’ambiguité de cette approche schématique venant du fait que la notion ∞-groupoides est elle même schématique, dénotant quelque chose d’analogue aux espaces topologiques , de même la notion « enrichissement faible » n’est pas définie avec rigueur.

Les caté’gories topologiques sont enrichies sur la catégorie ( bien balisée ) des espaces topologiques.

La première étape est de mettre en évidence Un notion qui remplace celle d’équivalence homotopique pour le « monde des ∞-catégories » : étant donné un foncteur F entre catégories topologiques :

F : C → D

Dans quels cas considérera t’on que F est une équivalence , c’est à dire que C et D « représentent » la même ∞-catégorie ?
Une réponse naïve serait : si F est un isomorphisme de catégories topologiques.
La réponse dans le livre de Lurie est donnée dans la définition 1.1.3.1:

F est défini comme « équivalence forte » , dans le sens des catégories enrichies.

La correspondanceentre Map (X,Y) , dans la catégorie c et Map ( F(X), F(Y)) dans la catégorie D , est un homéomorphisme d’espaces topologiques :

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Homéomorphisme

et tout objet dans la catégorie D est isomorphe à F(X) pour un objet X de C

L’équivalence forte se réduit à l’équivalence pour les catégories ordinaires.

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