Qu’est ce qu’une théorie de l’homotopie (homotopy theory) ?

Cet article « Models for (∞,1)-catégories » :

http://uwo.ca/math/faculty/kapulkin/seminars/highercategoriesnotes/marco-1.pdf

dit qu’une théorie de l’homotopie H est :

– une catégorie d’homotopie Ho(H)

https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+category

-Pour tout couple d’objets x et y de cette catégorie, un espace de morphismes Map(x,y) qui soit un ensemble simplicial , un objet de Sset.

Réponse équivalente donnée par Julia Bergner dans ce lien :

http://www.people.virginia.edu/~jeb2md/DefenseTalk.pdf

Slide 2 : une théorie de l’homotopie est une catégorie simpliciale , enrichie sur le topos Sset

Une présentation (ou un modèle) pour une théorie de l’homotopie est un objet mathématique qui est accompagné de telles données . En pratique le type de présentation formelle le plus étudié est celui des quasicatégories , donc la catégorie Qcat , mais fréquemment les présentations de théorie de l’homotopie ne sont pas des quasicatégories mais des catégories relatives ou simpliciales.

D’où le principe dit d’invariance homotopique généralement suivi :

à toute présentation X d’une théorie homotopique H , on associe une quasicatégorie RX présentant la même théorie H .

En pratique les présentations ou modèles pour une théorie H sont organisées en une catégorie HMod (espaces complets de Segal, catégories relatives): on cherchera donc la quasicatégorie RX associée sous la forme d’un foncteur :

R : HMod → QCat

Ces notes de Vergura permettent de montrer :

– que l’on peut munir HMod d’une structure de catégorie modèle ( dans de nombreux cas comme CSS, RelCat…)

-trouver un foncteur W : HMod → (Sset)Joyal

qui est adjoint à droite d’une équivalence de Quillen

Il est fait ici référence à la structure de catégorie modèle de Joyal :

https://ncatlab.org/nlab/show/model+structure+for+quasi-categories

Le foncteur cherché R sera déduit de W

La seconde partie des notes de Vergura est ici :

http://uwo.ca/math/faculty/kapulkin/seminars/highercategoriesnotes/marco-2.pdf

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